Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Pseudoquadrati

Teoria dei numeri 

Uno pseudoquadrato Lp è un intero della forma 8n + 1, che non è un quadrato, ma che è un residuo quadratico modulo tutti i primi non superiori a un primo p.

 

Il primo a studiarli fu M. Kraitchik, nel 1924, mentre il nome venne coniato da D.H. Lehmer, nel 1928.

 

La loro importanza sta in alcuni esami per determinare se un intero è primo; tali esami richiedono un tempo proporzionale al logaritmo del numero, se gli pseudoquadrati minimi crescono abbastanza velocemente al crescere di p.

In particolare Selfridge e Weinberger dimostrarono che un intero dispari n è primo o una potenza di un primo se valgono le seguenti condizioni:

  • tutti i fattori primi di n sono maggiori di m (arbitrario, da scegliere opportunamente),

  • n / m ≤ L(p), dove Lp è il minimo pseudoquadrato modulo p,

  • q^((n – 1) / 2) ≡ ±1 mod n per tutti i primi q minori o uguali a p,

  • q^((n – 1) / 2) ≡ –1 mod n per almeno un primo q minore o uguale a p,

Nel 1996 R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams dimostrarono che l’ultima condizione serve solo se n ha la forma 8k + 1; si può sostituire con 2^((n – 1) / 2) ≡ –1 mod n, se n ha la forma 8k + 5, ed eliminare nei casi restanti.

Dato che è molto facile verificare se n è una potenza, dalla dimostrazione si ricava un esame veloce, ma per renderlo efficace bisogna disporre di grandi pseudoquadrati, per trovare i quali non si conoscono algoritmi abbastanza efficienti; le tabelle disponibili permettono comunque di stabilire rapidamente se un numero di una trentina di cifre è primo o no.

 

Dato che p# + 1 e 2p# + 1 sono entrambi pseudoquadrati modulo p e non possono essere entrambi quadrati, il minimo pseudoquadrato modulo p non può superare 2p# + 1.

 

M. Hall dimostrò nel 1933 che gli pseudoquadrati minimi crescono senza limite al crescere di p; inoltre:

  • da un teorema di Eric Bach (1993), che però dipende dall’ipotesi di Riemann generalizzata, segue che L(p) > e^sqrt(p / 2);

  • E. Bach, R. Lukes, J. Shallit e Hugh C. Williams dimostrarono nel 1996 che, supponendo vera una variante dell’ipotesi di Riemann, L(p) ≥ e^(c * sqrt(p) / log(p)^2), per una costante c;

  • S. Konyagin, Carl Pomerance e Igor E. Shparlinski dimostrarono nel 2007 che per il minimo pseudoquadrato modulo p vale Lp ≤ e0.88715p, per p abbastanza grande;

  • Carl Pomerance e Igor E. Shparlinski dimostrarono nel 2007 che, supponendo vera l’ipotesi di Riemann generalizzata, per il minimo pseudoquadrato modulo p vale L(p) ≤ e^(c * p * log(log(p)) / log(p)), per una costante c.

 

La tabella seguente riporta i minimi pseudoquadrati per p fino a 373; non sono necessariamente distinti per primi diversi: per esempio, il minimo per p = 59 è uguale al minimo per p = 61.

p

Minimo pseudoquadrato

Scopritore e anno

2

17

M. Kraitchik, 1924

3

73

M. Kraitchik, 1924

5

241

M. Kraitchik, 1924

7

1009

M. Kraitchik, 1924

11

2641

M. Kraitchik, 1924

13

8089

M. Kraitchik, 1924

17

18001

M. Kraitchik, 1924

19

53881

M. Kraitchik, 1924

23

87481

M. Kraitchik, 1924

29

117049

M. Kraitchik, 1924

31

515761

M. Kraitchik, 1924

37

1083289

M. Kraitchik, 1924

41

3206641

M. Kraitchik, 1924

43

3818929

M. Kraitchik, 1924

47

9257329

M. Kraitchik, 1924

53

22000801

D.H. Lehmer, 1928

59

48473881

D.H. Lehmer, 1928

61

48473881

D.H. Lehmer, 1928

67

175244281

D.H. Lehmer, 1954

71

427733329

D.H. Lehmer, 1954

73

427733329

D.H. Lehmer, 1954

79

898716289

D.H. Lehmer, 1954

83

2805544681

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

89

2805544681

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

97

2805544681

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

101

10310263441

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

103

23616331489

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

107

85157610409

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

109

85157610409

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

113

196265095009

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

127

196265095009

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

131

2871842842801

D.H. Lehmer

137

2871842842801

D.H. Lehmer

139

2871842842801

D.H. Lehmer

149

26250887023729

D.H. Lehmer, 1973

151

26250887023729

D.H. Lehmer, 1973

157

112434732901969

C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1988

163

112434732901969

C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1988

167

112434732901969

C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1988

173

178936222537081

C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1988

179

178936222537081

C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1988

181

696161110209049

C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1988

191

696161110209049

C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1988

193

2854909648103881

Stephens e Hugh C. Williams, 1989

197

6450045516630769

Stephens e Hugh C. Williams, 1989

199

6450045516630769

Stephens e Hugh C. Williams, 1989

211

11641399247947921

Stephens e Hugh C. Williams, 1989

223

11641399247947921

Stephens e Hugh C. Williams, 1989

227

190621428905186449

R.F. Lukes e Hugh C. Williams, 1991

229

196640248121928601

R.F. Lukes e Hugh C. Williams, 1991

233

712624335095093521

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

239

1773855791877850321

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

241

2327687064124474441

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

251

6384991873059836689

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

257

8019204661305419761

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

263

10198100582046287689

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

269

10198100582046287689

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

271

10198100582046287689

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

277

69848288320900186969

Bernstein, 2001

281

208936365799044975961

Bernstein, 2001

283

533552663339828203681

Williams e Wooding, 2003

293

936664079266714697089

Williams e Wooding, 2003

307

936664079266714697089

Williams e Wooding, 2003

311

2142202860370269916129

Williams e Wooding, 2003

313

2142202860370269916129

Williams e Wooding, 2003

317

2142202860370269916129

Williams e Wooding, 2003

331

13649154491558298803281

Williams e Wooding, 2003

337

34594858801670127778801

Williams e Wooding, 2003

347

99492945930479213334049

Williams e Wooding, 2003

349

99492945930479213334049

Williams e Wooding, 2003

353

295363487400900310880401

Williams e Wooding, 2003

359

295363487400900310880401

Williams e Wooding, 2003

367

3655334429477057460046489

Sorenson, 2008

373

4235025223080597503519329

Sorenson, 2008

 

La tabella seguente riporta i minimi pseudoquadrati primi per p fino a 373.

p

Minimo pseudoquadrato primo

Scopritore e anno

2

17

M. Kraitchik, 1924

3

73

M. Kraitchik, 1924

5

241

M. Kraitchik, 1924

7

1009

M. Kraitchik, 1924

11

2689

M. Kraitchik, 1924

13

8089

M. Kraitchik, 1924

17

33049

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

19

53881

M. Kraitchik, 1924

23

87481

M. Kraitchik, 1924

29

483289

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

31

515761

M. Kraitchik, 1924

37

1083289

M. Kraitchik, 1924

41

3818929

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

43

3818929

M. Kraitchik, 1924

47

9257329

M. Kraitchik, 1924

53

22000801

D.H. Lehmer, 1928

59

48473881

D.H. Lehmer, 1928

61

48473881

D.H. Lehmer, 1928

67

175244281

D.H. Lehmer, 1954

71

427733329

D.H. Lehmer, 1954

73

427733329

D.H. Lehmer, 1954

79

898716289

D.H. Lehmer, 1954

83

8114538721

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

89

9176747449

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

97

23616331489

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

101

23616331489

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

103

23616331489

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

107

196265095009

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

109

196265095009

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

113

196265095009

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

127

196265095009

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

131

2871842842801

D.H. Lehmer

137

2871842842801

D.H. Lehmer

139

2871842842801

D.H. Lehmer

149

26437680473689

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

151

89436364375801

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

157

112434732901969

C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1988

163

112434732901969

C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1988

167

112434732901969

C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1988

173

178936222537081

C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1988

179

178936222537081

C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1988

181

6072205049848081

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

191

6072205049848081

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

193

6072205049848081

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

197

11641399247947921

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

199

11641399247947921

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

211

11641399247947921

Stephens e Hugh C. Williams, 1989

223

11641399247947921

Stephens e Hugh C. Williams, 1989

227

196640248121928601

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

229

196640248121928601

R.F. Lukes e Hugh C. Williams, 1991

233

781158046093912369

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

239

6938117179828687609

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

241

9064125655411231729

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

 

Lehmer definì in modo analogo “pseudoquadrati negativi” gli interi n della forma 8k – 1, tali che –n sia residuo quadratico modulo q, per tutti i primi q non superiori a p.

 

La tabella seguente riporta i minimi pseudoquadrati negativi per p fino a 269.

p

Minimo pseudoquadrato

Scopritore e anno

2

7

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

3

23

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

5

71

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

7

311

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

11

479

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

13

1559

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

17

5711

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

19

10559

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

23

18191

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

29

31391

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

31

118271

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

37

366791

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

41

366791

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

43

2155919

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

47

2155919

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

53

2155919

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

59

6077111

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

61

6077111

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

67

98538359

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

71

120293879

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

73

131486759

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

79

131486759

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

83

508095719

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

89

2570169839

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

97

2570169839

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

101

2570169839

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

103

2570169839

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

107

2570169839

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

109

2570169839

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

113

328878692999

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

127

328878692999

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

131

513928659191

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

137

844276851239

A.J. Stephens e Hugh C. Williams, 1989

139

1043702750999

A.J. Stephens e Hugh C. Williams, 1989

149

4306732833311

A.J. Stephens e Hugh C. Williams, 1989

151

8402847753431

A.J. Stephens e Hugh C. Williams, 1989

157

47375970146951

A.J. Stephens e Hugh C. Williams, 1989

163

52717232543951

A.J. Stephens e Hugh C. Williams, 1989

167

100535431791791

A.J. Stephens e Hugh C. Williams, 1989

173

251109340045079

A.J. Stephens e Hugh C. Williams, 1989

179

493092541684679

A.J. Stephens e Hugh C. Williams, 1989

181

493092541684679

A.J. Stephens e Hugh C. Williams, 1989

191

493092541684679

A.J. Stephens e Hugh C. Williams, 1989

193

1088144332169831

A.J. Stephens e Hugh C. Williams, 1989

197

1088144332169831

A.J. Stephens e Hugh C. Williams, 1989

199

1088144332169831

A.J. Stephens e Hugh C. Williams, 1989

211

1088144332169831

N.D. Bronson e D. A. Buell, 1994

223

71608584429428591

N.D. Bronson e D. A. Buell, 1994

227

88163809868323439

N.D. Bronson e D. A. Buell, 1994

229

218748706425968039

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

233

423414931359807911

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

239

695681268077667119

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

241

1116971853972029831

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

251

1116971853972029831

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

257

3546374752298322551

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

263

3546374752298322551

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

269

3546374752298322551

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

 

La tabella seguente riporta i minimi pseudoquadrati negativi primi per p fino a 269.

p

Minimo pseudoquadrato primo

Scopritore e anno

2

7

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

3

23

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

5

71

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

7

311

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

11

479

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

13

1559

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

17

5711

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

19

10559

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

23

18191

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

29

31391

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

31

366791

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

37

366791

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

41

366791

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

43

4080359

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

47

12537719

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

53

30706079

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

59

36415991

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

61

82636319

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

67

120293879

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

71

120293879

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

73

131486759

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

79

131486759

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

83

2929911599

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

89

2929911599

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

97

7979490791

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

101

33857579279

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

103

33857579279

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

107

89206899239

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

109

121560956039

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

113

328878692999

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

127

328878692999

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

131

513928659191

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

137

4306732833311

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

139

4306732833311

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

149

4306732833311

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

151

8402847753431

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

157

70864718555231

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

163

317398900373231

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

167

501108392233679

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

173

501108392233679

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

179

501108392233679

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

181

501108392233679

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

191

5551185799073591

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

193

5551185799073591

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

197

5551185799073591

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

199

7832488789769159

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

211

7832488789769159

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

223

102097158739597271

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

227

102097158739597271

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

229

315759454565514431

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

233

868116409360316399

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

239

3412527725201978759

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

241

3546374752298322551

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

251

3546374752298322551

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

257

3546374752298322551

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

263

3546374752298322551

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

269

3546374752298322551

R.F. Lukes, C.D. Patterson e Hugh C. Williams, 1994

 

Nel 1994 D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks esaminarono anche un’altra categoria di numeri, per ora senza nome (possiamo chiamarli pseudononquadrati), corrispondente in un certo senso all’inverso degli pseudoquadrati: si tratta degli interi, che non sono residui quadratici modulo q, per tutti i primi dispari q non superiori a p.

 

La tabella seguente riporta i minimi pseudononquadrati della forma 8k + 1 per p fino a 47 (M. Fiorentini, 2020).

p

Minimo pseudononquadrato

Minimo pseudononquadrato primo

3

17

17

5

17

17

7

17

17

11

17

17

13

593

593

17

1217

1217

19

1553

1553

23

2273

2273

29

2273

2273

31

5297

5297

37

5297

5297

41

420713

604313

43

604313

604313

47

729137

 

 

La tabella seguente riporta i minimi pseudononquadrati della forma 8k + 3 per p fino a 277.

p

Minimo pseudononquadrato

Scopritore e anno

3

19

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

5

43

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

7

43

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

11

67

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

13

67

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

17

163

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

19

163

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

23

163

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

29

163

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

31

163

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

37

163

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

41

77683

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

43

77683

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

47

1333963

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

53

2404147

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

59

2404147

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

61

20950603

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

67

36254563

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

71

51599563

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

73

96295483

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

79

96295483

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

83

114148483

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

89

269497867

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

97

269497867

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

101

269497867

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

103

269497867

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

107

585811843

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

109

52947440683

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

113

52947440683

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

127

71837718283

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

131

229565917267

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

137

229565917267

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

139

575528148427

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

149

1432817816347

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

151

1432817816347

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

157

1432817816347

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

163

1432817816347

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

167

6778817202523

Michael John Jacobson, Jr., 1995

173

16501779755323

Michael John Jacobson, Jr., 1995

179

30059924764123

Michael John Jacobson, Jr., 1995

181

30059924764123

Michael John Jacobson, Jr., 1995

191

110587910656507

Michael John Jacobson, Jr., 1995

193

110587910656507

Michael John Jacobson, Jr., 1995

197

110587910656507

Michael John Jacobson, Jr., 1995

199

4311527414591923

Michael John Jacobson, Jr., 1995

211

10472407114788067

Michael John Jacobson, Jr., 1995

223

10472407114788067

Michael John Jacobson, Jr., 1995

227

22261805373620443

Michael John Jacobson, Jr., 1995

229

22261805373620443

Michael John Jacobson, Jr., 1995

233

22261805373620443

Michael John Jacobson, Jr., 1995

239

22261805373620443

Michael John Jacobson, Jr., 1995

241

22261805373620443

Michael John Jacobson, Jr., 1995

251

132958087830686827

Michael John Jacobson, Jr., 1995

257

441899002218793387

Michael John Jacobson, Jr., 1995

263

2278509757859388307

Michael John Jacobson, Jr., 1995

269

2278509757859388307

Michael John Jacobson, Jr., 1995

271

5694230275645018963

Michael John Jacobson, Jr., 1995

277

9828323860172600203

Michael John Jacobson, Jr., 1995

 

La tabella seguente riporta i minimi pseudononquadrati primi della forma 8k + 3 per p fino a 269.

p

Minimo pseudononquadrato

Scopritore e anno

3

19

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

5

43

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

7

43

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

11

67

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

13

67

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

17

163

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

19

163

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

23

163

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

29

163

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

31

163

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

37

163

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

41

222643

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

43

1333963

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

47

1333963

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

53

2404147

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

59

2404147

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

61

20950603

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

67

51599563

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

71

51599563

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

73

96295483

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

79

96295483

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

83

146161723

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

89

1408126003

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

97

3341091163

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

101

3341091163

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

103

3341091163

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

107

52947440683

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

109

52947440683

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

113

52947440683

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

127

193310265163

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

131

229565917267

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

137

229565917267

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

139

915809911867

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

149

1432817816347

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

151

1432817816347

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

157

1432817816347

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

163

1432817816347

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

167

30059924764123

Michael John Jacobson, Jr., 1995

173

30059924764123

Michael John Jacobson, Jr., 1995

179

30059924764123

Michael John Jacobson, Jr., 1995

181

30059924764123

Michael John Jacobson, Jr., 1995

191

3126717241727227

Michael John Jacobson, Jr., 1995

193

8842819893041227

Michael John Jacobson, Jr., 1995

197

8842819893041227

Michael John Jacobson, Jr., 1995

199

8842819893041227

Michael John Jacobson, Jr., 1995

211

13688678408873323

Michael John Jacobson, Jr., 1995

223

13688678408873323

Michael John Jacobson, Jr., 1995

227

22261805373620443

Michael John Jacobson, Jr., 1995

229

22261805373620443

Michael John Jacobson, Jr., 1995

233

22261805373620443

Michael John Jacobson, Jr., 1995

239

22261805373620443

Michael John Jacobson, Jr., 1995

241

22261805373620443

Michael John Jacobson, Jr., 1995

251

4908856524312968467

Michael John Jacobson, Jr., 1995

257

7961860547428719787

Michael John Jacobson, Jr., 1995

263

7961860547428719787

Michael John Jacobson, Jr., 1995

269

7961860547428719787

Michael John Jacobson, Jr., 1995

 

La tabella seguente riporta i minimi pseudononquadrati della forma 8k + 5 per p fino a 283.

p

Minimo pseudononquadrato

Scopritore e anno

3

5

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

5

53

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

7

173

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

11

173

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

13

293

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

17

437

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

19

9173

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

23

9173

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

29

24653

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

31

74093

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

37

74093

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

41

74093

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

43

170957

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

47

214037

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

53

214037

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

59

214037

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

61

2004917

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

67

44401013

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

71

71148173

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

73

154554077

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

79

154554077

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

83

163520117

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

89

163520117

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

97

163520117

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

101

261153653

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

103

261153653

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

107

1728061733

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

109

1728061733

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

113

1728061733

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

127

9447241877

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

131

19553206613

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

137

49107823133

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

139

49107823133

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

149

385995595277

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

151

385995595277

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

157

385995595277

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

163

385995595277

D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970

167

13213747959653

Michael John Jacobson, Jr., 1995

173

14506773263237

Michael John Jacobson, Jr., 1995

179

57824199003317

Michael John Jacobson, Jr., 1995

181

57824199003317

Michael John Jacobson, Jr., 1995

191

160909740894437

Michael John Jacobson, Jr., 1995

193

160909740894437

Michael John Jacobson, Jr., 1995

197

370095509388197

Michael John Jacobson, Jr., 1995

199

370095509388197

Michael John Jacobson, Jr., 1995

211

1409029796180597

Michael John Jacobson, Jr., 1995

223

4075316253649373

Michael John Jacobson, Jr., 1995

227

18974003020179917

Michael John Jacobson, Jr., 1995

229

18974003020179917

Michael John Jacobson, Jr., 1995

233

18974003020179917

Michael John Jacobson, Jr., 1995

239

224117990614052477

Michael John Jacobson, Jr., 1995

241

224117990614052477

Michael John Jacobson, Jr., 1995

251

637754768063384837

Michael John Jacobson, Jr., 1995

257

637754768063384837

Michael John Jacobson, Jr., 1995

263

637754768063384837

Michael John Jacobson, Jr., 1995

269

4472988326827347533

Michael John Jacobson, Jr., 1995

271

4472988326827347533

Michael John Jacobson, Jr., 1995

277

4472988326827347533

Michael John Jacobson, Jr., 1995

281

4472988326827347533

Michael John Jacobson, Jr., 1995

283

4472988326827347533

Michael John Jacobson, Jr., 1995

 

La tabella seguente riporta i minimi pseudononquadrati primi della forma 8k + 5 per p fino a 263.

p

Minimo pseudononquadrato

Scopritore e anno

3

5

Michael John Jacobson, Jr., 1995

5

53

Michael John Jacobson, Jr., 1995

7

173

Michael John Jacobson, Jr., 1995

11

173

Michael John Jacobson, Jr., 1995

13

293

Michael John Jacobson, Jr., 1995

17

2477

Michael John Jacobson, Jr., 1995

19

9173

Michael John Jacobson, Jr., 1995

23

9173

Michael John Jacobson, Jr., 1995

29

61613

Michael John Jacobson, Jr., 1995

31

74093

Michael John Jacobson, Jr., 1995

37

74093

Michael John Jacobson, Jr., 1995

41

74093

Michael John Jacobson, Jr., 1995

43

170957

Michael John Jacobson, Jr., 1995

47

360293

Michael John Jacobson, Jr., 1995

53

679733

Michael John Jacobson, Jr., 1995

59

2004917

Michael John Jacobson, Jr., 1995

61

2004917

Michael John Jacobson, Jr., 1995

67

69009533

Michael John Jacobson, Jr., 1995

71

138473837

Michael John Jacobson, Jr., 1995

73

237536213

Michael John Jacobson, Jr., 1995

79

384479933

Michael John Jacobson, Jr., 1995

83

883597853

Michael John Jacobson, Jr., 1995

89

1728061733

Michael John Jacobson, Jr., 1995

97

1728061733

Michael John Jacobson, Jr., 1995

101

1728061733

Michael John Jacobson, Jr., 1995

103

1728061733

Michael John Jacobson, Jr., 1995

107

1728061733

Michael John Jacobson, Jr., 1995

109

1728061733

Michael John Jacobson, Jr., 1995

113

1728061733

Michael John Jacobson, Jr., 1995

127

9447241877

Michael John Jacobson, Jr., 1995

131

49107823133

Michael John Jacobson, Jr., 1995

137

49107823133

Michael John Jacobson, Jr., 1995

139

49107823133

Michael John Jacobson, Jr., 1995

149

1843103135837

Michael John Jacobson, Jr., 1995

151

4316096218013

Michael John Jacobson, Jr., 1995

157

4316096218013

Michael John Jacobson, Jr., 1995

163

15021875771117

Michael John Jacobson, Jr., 1995

167

15021875771117

Michael John Jacobson, Jr., 1995

173

82409880589277

Michael John Jacobson, Jr., 1995

179

82409880589277

Michael John Jacobson, Jr., 1995

181

326813126363093

Michael John Jacobson, Jr., 1995

191

390894884910197

Michael John Jacobson, Jr., 1995

193

390894884910197

Michael John Jacobson, Jr., 1995

197

1051212848890277

Michael John Jacobson, Jr., 1995

199

4075316253649373

Michael John Jacobson, Jr., 1995

211

4075316253649373

Michael John Jacobson, Jr., 1995

223

4075316253649373

Michael John Jacobson, Jr., 1995

227

274457237558283317

Michael John Jacobson, Jr., 1995

229

443001676907312837

Michael John Jacobson, Jr., 1995

233

599423482887195557

Michael John Jacobson, Jr., 1995

239

614530964726833997

Michael John Jacobson, Jr., 1995

241

637754768063384837

Michael John Jacobson, Jr., 1995

251

637754768063384837

Michael John Jacobson, Jr., 1995

257

637754768063384837

Michael John Jacobson, Jr., 1995

263

637754768063384837

Michael John Jacobson, Jr., 1995

 

La tabella seguente riporta i minimi pseudononquadrati della forma 8k + 7 per p fino a 163 (D.H. Lehmer, Emma Lehmer, e Daniel Shanks, 1970).

p

Minimo pseudononquadrato

Minimo pseudononquadrato primo

3

7

7

5

7

7

7

127

127

11

247

463

13

463

463

17

487

487

19

1423

1423

23

33247

33247

29

56743

73327

31

74743

118903

37

118903

118903

41

118903

118903

43

348727

454183

47

348727

773767

53

773767

773767

59

773767

773767

61

773767

773767

67

2430943

86976583

71

2430943

125325127

73

2430943

132690343

79

242675623

788667223

83

393293183

788667223

89

393293183

1280222287

97

393293183

2430076903

101

1656835783

10703135983

103

2713676023

10703135983

107

4532137927

10703135983

109

8133814327

10703135983

113

8133814327

15605135527

127

8133814327

15605135527

131

8363603623

148202808007

137

8363603623

569078186623

139

1128864945583

3506439768967

149

3402396344407

3506439768967

151

3402396344407

3402396344407

157

3402396344407

 

163

3402396344407

 

 

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