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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Irrazionali quadratici espressi tramite frazioni continue
  3. 3. Rappresentazione di alcune costanti tramite frazioni continue
  4. 4. Funzioni espresse tramite frazioni continue
  5. 5. Costanti definite tramite frazioni continue

Alcune costanti sono state definite, a partire dal loro sviluppo come frazioni continue, e successivamente calcolate, trovando talvolta costanti esprimibili in altro modo.

 

Un primo gruppo è formato da frazioni continue costruite con i numeri naturali in ordine.

 

Iniziamo con la frazione continua che ha per denominatori i naturali: Costante definita mediante una frazione continua (v. costante delle frazioni continue).

Se scambiamo numeratori e denominatori otteniamo Costante definita mediante una frazione continua.

Se ripetiamo due volte i numeratori otteniamo Costante definita mediante una frazione continua, che è la costante di Gompertz, esprimibile anche come Costante definita mediante una frazione continua (Stieltjes).

 

Se a numeratore mettiamo la sequenza dei quadrati otteniamo Costante definita mediante una frazione continua (Eulero) e se li ripetiamo otteniamo Costante definita mediante una frazione continua (Ramanujan).

 

Anche con i cubi si può fare qualcosa: Costante definita mediante una frazione continua (Ramanujan).

 

Non conosco altre rappresentazioni analoghe con cubi o potenze maggiori a numeratore o denominatore.

Infinite costanti analoghe possono essere ottenute mettendo a numeratore o denominatore altre sequenze infinite di interi, come i numeri primi, i numeri di Fibonacci ecc., ma non se conoscono altre che possano essere rappresentate come serie, integrali o tramite costanti note.

 

Un gruppo completamente diverso è quello delle costanti definite a partire dalla loro rappresentazione come frazioni continue è quello delle costanti nelle quali i termini dello sviluppo in frazione continua semplice sono legati al valore della costante stessa da relazioni relativamente semplici, ovvero delle costanti K tali che an = f(K), per una qualche funzione f. In questi casi spesso la maggiore difficoltà è dimostrare che esiste una sola costante con la proprietà descritta.

 

Esistono costanti K, tali che nella rappresentazione in frazione continua di K valga Equazione soddisfatta dai termini della frazione continua. La massima di tali costanti vale circa 0.2831510061 e la sua rappresentazione come frazione continua è [ 0; 3, 1, 1, 7, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 10, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 12, 2, 1, 1, 4, 2, 1, 16, 2, 1, 1, 5, 2, 1, 23, 3, 1, 1, 5, 2, 1, 40, 3, 1, 1, 6, 2, 1, 142, 3, 1, 1, 7, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 8, 2, 1, 1, 3, 1, 1, 9, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 11, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 14, 2, 1, 1, 4, 2, 1, 20, 3, 1, 1, 5, 2, 1, 31, ... ] (Paul D. Hanna, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Esiste un’unica costante K che vale circa 1.4552816928 e ha espansione in frazione continua [ 1; 2, 5, 11, 23, 46, 93, 186, 372, 745, 1490, 2980, 5960, 11921, 23843, 47686, 95373, 190746, 381493, 762986, 1525973, 3051946, 6103893, 12207787, 24415575, 48831150, 97662301, 195324602, 390649204, 781298409, 1562596819, 3125193638, … ], tale che Equazione soddisfatta dai termini della frazione continua (Paul D. Hanna, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 105 cifre decimali della costante (Paul D. Hanna, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

In altri casi il legame tra la costante e i termini della rappresentazione in frazione continua è più complesso.

 

Se si prende come termine an di una frazione continua semplice l’esponente della massima potenza di 2 che divide n, si ottiene la costante K = [ 1; 2, 1, 4, 1, 2, 1, 8, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 16, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 8, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 32, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 8, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 16, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 8, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 64, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 8, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 16, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 8, 1, 2, 1, 4, 1, 2, 1, 32, 1, 2, 1, 4, 1, 2, … ] ≈ 1.3538711284 (Paul D. Hanna, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org). La costante ha la proprietà che la rappresentazione in frazione continua semplice di 2K si ottiene intercalando dei 2 nella rappresentazione di K: 2K = [ 2; 1, 2, 2, 2, 1, 2, 4, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 8, ... ].

Il quadrato della costante vale circa 1.8329670324 e ha l’espansione in frazione continua [ 1; 1, 4, 1, 74, 1, 8457, 1, 186282390, 1, 1, 1, 2, 1, 430917181166219, 11, 37, 1, 4, 2, 41151315877490090952542206046, 11, 5, 3, 12, 2, 34, 2, 9, 8, 1, 1, 2, 7, 13991468824374967392702752173757116934238293984253807017, 3, 4, 1, 3, 100, 4, … ] (

Qui trovate le prime 105 cifre decimali della costante (Paul D. Hanna, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org). e qui trovate le prime 105 cifre decimali del quadrato (Paul D. Hanna, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Esiste una costante K’ che vale circa 1.4084942792 e ha espansione in frazione continua [ 1; 2, 2, 4, 3, 4, 4, 8, 5, 6, 6, 8, 7, 8, 8, 16, 9, 10, 10, 12, 11, 12, 12, 16, 13, 14, 14, 16, 15, 16, 16, 32, 17, 18, 18, 20, 19, 20, 20, 24, 21, 22, 22, 24, 23, 24, 24, 32, 25, 26, 26, 28, 27, 28, 28, 32, 29, 30, 30, 32, 31, 32, 32, 64, 33, 34, 34, 36, 35, 36, 36, 40, 37, 38, 38, ... ], tale che l’espansione in frazione continua di 2K’ è ottenuta intercalando i numeri pari in ordine crescente in quella di K: 2K = [ 2; 1, 4, 2, 6, 2, 8, 4, 10, 3, 12, 4, 14, 4, 16, 8, 18, 5, ... ] (Paul D. Hanna, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 105 cifre decimali della costante (Paul D. Hanna, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Esiste un’unica costante K che vale circa 0.5315171632 e ha espansione in frazione continua [ 0; 1, 1, 7, 2, 3, 5, 2, 1, 3, 2, 3, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 1, 2, 33, 12, 3, 1, 2, 3, 1, 4, 37, 1, 1, 5, 1, 25, 7, 4, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 3, 2, 3, 1, 9, 2, 1, 3, 1, 3, 5, 2, 79, 7, 1, 1, 5, 3, 1, 10, 1, 1, 4, 2, 3, 3, 2, 1, 6, 1, 1, 5, 1, 98, 2, 3, 1, 2, 1, 11, 1, 14, 7, 16, 2, 1, 1, 9, 8, 2, 1, 1, 21, 1, 1, 1, … ], tale che la frazione continua [ a0 + K; a1 + K, a2 + K, … ] valga 1 (Paul D. Hanna, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 104 cifre decimali della costante (Paul D. Hanna, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Definendo una ricorrenza come a0 = 1, an = [ a0; a1, a2, … an – 1 ], ossia Ricorrenza per la definizione dei termini della frazione continua, il limite cui tende an è circa 1.7118691868, che ha espansione in frazione continua [ 1; 1, 2, 2, 8, 59, 1, 46, 1, 2, 3, 22, 1, 60, 1, 1, 1, 4, 1, 6, 2, 1, 1, 3, 4, 1, 2, 6, 1, 25, 2, 1, 2, 7, 3, 11, 1, 1, 20, 1, 3, 1, 1, 3, 1, 11, 1, 2, 31, 3, 2, 2, 5, 1, 1, 3, 3, 11, 1, 2, 4, 2, 1, 1, 1, 6, 3, 3, 3, 15, 2, 1, 5, 2, 2, 3, 2, 1, 1, 3, 2, 2, 8, 1, 7, 1, 4, 1, 4, 2, 2, 5, 2, 1, 4, 1, 19, 1, … ] (Leroy Quet, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Alla voce costante di Trott si trovano altre costanti definite a partire dalle proprietà della loro rappresentazione come frazioni continue.

Bibliografia

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  • Balzarotti, Giorgio;  Lava, Paolo Pietro;  103 Curiosità matematiche, Milano, Hoepli, 2010.
  • Cantor, David G.;  Galyean, Paul H.;  Zimmer, Horst G.;  "A continued fraction algorithm for real algebraic numbers" in Mathematics of Computation, n. 26, 1972, pag. 785 – 791.
  • Clawson, Calvin C.;  Mathematical Mysteries, Basic Books, 1996.
  • Olds, C.D.;  Continued Fractions, New York, Random House, 1963 -

    Un classico sulle frazioni continue.

  • Perron, Oskar;  Die Lehre von den Kettenbrücken, Stuttgart, Teubner, vol I e II, 1954 -

    La Bibbia delle frazioni continue, almeno fino al momento in cui furono scritti.

  • Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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