Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Proprietà legate ai divisori
  3. 3. Altre proprietà
  4. 4. Formule per i numeri di Lucas
  5. 5. Formule per somme di numeri di Lucas
  6. 6. Formule per prodotti e potenze di numeri di Lucas
  7. 7. Serie finite con numeri di Lucas
  8. 8. Serie infinite con numeri di Lucas
  9. 9. Serie con reciproci dei numeri di Lucas
  10. 10. Altre formule
  11. 11. Valori

Un numero di Lucas primo ha come indice una potenza di due o un numero primo, ma non tutti i numeri di Lucas con indice primo o potenza di due sono primi; i controesempi per primi minori di 100 e potenze di 2 minori di 1000 sono:

  • L3 = 4 = 22,

  • L23 = 64079 = 139 • 461,

  • L29 = 1149851 = 59 • 19489,

  • L32 = 4870847 = 1087 • 4481,

  • L43 = 969323029 = 6709 • 144481,

  • L59 = 2139295485799 = 709 • 8969 • 336419,

  • L64 = 23725150497407 = 127 • 186812208641,

  • L67 = 100501350283429 = 4021 • 24994118449,

  • L73 = 1803423556807921 = 151549 • 11899937029,

  • L83 = 221806434537978679 = 35761381 • 6202401259,

  • L89 = 3980154972736918051 = 179 • 22235502640988369,

  • L97 = 186982561199565069121 = 3299 • 56678557502141579,

  • L128 = 562882766124611619513723647 = 119809 • 4698167634523379875583,

  • L256 = 316837008400094222150776738483768236006420971486980607 = 34303 • 73327699969 • 125960894984050328038716298487435392001,

 

Vi sono probabilmente infiniti numeri di Lucas primi, ma non è stato dimostrato.

Ln è primo per n uguale a 2, 4, 5, 7, 8, 11, 13, 16, 17, 19, 31, 37, 41, 47, 53, 61, 71, 79, 113, 313, 353, 503, 613, 617, 863, 1097, 1361, 4787 (Dubner e Keller, 1995), 4793 (Dubner e Keller, 1995), 5851 (Dubner e Keller, 1995), 7741 (Dubner e Keller, 1995), 8467 (de Water, 2000), 10691 (Dubner e Keller, 1995), 12251 (de Water e Broadhurst, 2001), 13963 (Oakes, 2002), 14449 (Dubner e Keller, 1995), 19469 (de Water e Broadhurst, 2002), 35449 (de Water, 2001), 36779 (de Water e Broadhurst, 2005), 44507 (de Water e Broadhurst, 2005) e 51169 (de Water e Broadhurst, 2001), 56003 e nessun altro numero minore di 56000. Inoltre Ln è probabilmente primo per n = 81617, 89849 (Dubner), 94823 (H. Lifchitz), 140057, 148091 (Bouk de Water, 2003), 159521, 183089, 193201, 202667 (H. Lifchitz), 344293, 387433, 443609 (R. Lifchitz), 532277 (R. Lifchitz, 2004), 574219, 616787, 631181, 637751, 651821, 692147, 901657, 1051849 e nessun altro indice inferiore.

 

Tra i fattori dei numeri di Lucas vi sono infiniti primi; in molti casi si può stabilire a priori se un primo divida qualche numero di Lucas o meno. In particolare se un numero primo dispari p diviso per 20 dà resto:

  • 3, 7, 11 o 19, allora p divide qualche numero di Lucas;

  • 13 o 17, allora p non divide alcun numero di Lucas;

  • 1 o 9, allora p può dividere un numero di Lucas o meno; Jarden dimostrò nel 1958 che vi sono infiniti esempi dei due casi.

Questo risultato può essere forse reso più preciso, ma non è possibile stabilire a priori se un numero primo divida qualche numero di Lucas o meno semplicemente calcolando il resto della divisione del primo per un altro intero, come dimostrato da Ward nel 1961.

 

La densità asintotica dei primi che dividono qualche numero di Lucas è Due terzi, come dimostrato da Lagarias nel 1985, quindi un terzo dei primi non divide alcun numero di Lucas.

 

MCD(Lm, Ln) = LMCD(m, n), se m / MCD(L(m), L(n))n / MCD(L(m), L(n)) sono interi dispari.

 

Per quanto riguarda i divisori dei numeri di Lucas, si può dimostrare che:

  • i primi che dividono Ln per n pari sono della forma 20k ± 1 o 20k ± 3;

  • i primi che dividono Ln per n dispari sono della forma 10k ± 1;

  • Ln è multiplo di 2 se e solo se n è un multiplo di 3;

  • ogni numero di Lucas, tranne 1, 4 e 18, è divisibile per un primo che non divide alcun numero di Lucas inferiore;

  • due numeri di Lucas consecutivi sono primi tra loro;

  • nessun numero di Lucas è divisibile per Fn per n > 4 e in particolare nessun numero di Lucas è divisibile per 5;

  • Ln divide Lm (per n > 0) se e solo se m = (2k + 1)n, ossia m è uguale a n moltiplicato per un numero dispari, e in tal caso L(m) / L(n) è dispari; per esempio, L2 = 3 divide Ln se e solo se n ha la forma 4k + 2 e L4 = 7 divide Ln se e solo se n ha la forma 8k + 4;

  • Ln divide Fm se e solo se m = 2kn;

  • se n è dispari, Ln è dispari o multiplo di 4, ma non di 8 e i suoi fattori primi sono della forma 10k ± 1, oltre eventualmente a 4;

  • se p è un primo dispari che divide Ln, pk divide L(np)^(k – 1) (Carlitz e, indipendentemente, Bergum).

  • se p è un primo dispari che divide L(2 * 3^k), n = 2 • 3kpm divide Ln;

  • se p e q sono primi differenti e maggiori di 3 che dividono L(2 * 3^k) e n = 2 • 3kpmql, n divide Ln;

  • se p e q sono primi dispari differenti, p divide Ln e q divide Lm, con m e n dispari, (pq)k divide L(m * n * (p * q)^(k – 1)) (Carlitz e, indipendentemente, Bergum);

  • Somma di n numeri di Lucas consecutivi è multiplo di 5 se e solo se n è multiplo di 4.

 

Per quanto riguarda i resti ottenuti dividendo i numeri di Lucas per alcuni interi, sappiamo che:

  • 5LnFn mod 2;

  • se p è primo, Lp ≡ 1 mod p (M. Pettet, 1967); l’inverso non sempre è vero, perché la relazione vale per alcuni numeri composti, come 705, 2465 e 2737 (v. pseudoprimi di Lucas; in particolare se p è primo, LnpLnLpLn mod p (J.E. Desmond, 1970);

  • se p è un primo della forma 5k ± 1, Lp – 1 ≡ 2 mod p;

  • se p è un primo della forma 5k ± 2, Lp + 1 ≡ –2 mod p;

  • se p è primo, LnpLn mod p;

  • se p è primo, L(p^n) ≡ 1 mod p^2 se e solo se Lp ≡ 1 mod p2 (L. Carlitz, 1977); non si conosce però alcun primo del genere; se esiste è maggiore di 100000 (M. Fiorentini, 2014);

  • se p è primo e maggiore di 3, L(2 * p^n) ≡ 3 mod 10 (Freitag, 1976);

  • Ln ≡ 2(–2)n ≡ 2 • 3n mod 5, da cui Ln ≡ 3Ln – 1 mod 5, 2nLn ≡ 2 mod 5 (Wall, 1968), 2nLn ≡ 2 mod 10, L4n ≡ 2 mod 5, L4n + 1 ≡ 1 mod 5, L4n + 2 ≡ 3 mod 5, L4n + 3 ≡ 4 mod 5 e quindi Ln + Ln + 2 ≡ 0 mod 5;

  • Ln ≡ 22n + 23n mod 11;

  • Ln + 2 ≡ (–1)m + 1Ln – 2m mod 5;

  • L6n ≡ 2 mod 4;

  • L6n + 1 ≡ 1 mod 4;

  • L6n – 1 ≡ 3 mod 4;

  • L6n ± 2 ≡ 3 mod 4;

  • L6n + 3 ≡ 0 mod 4;

  • 3Ln ≡ (–1)n mod 5;

  • 2Lm + nLmLn mod 5;

  •  Ln + 12Ln mod 8;

  • L(2 * m * (2 * n + 1)) ≡ L(2 * m) mod F(2 * n)^2 (Bruckman, 1975);

  • L(2m + 1)(4n + 1)L2m + 1 mod F2nF2n + 1 (Koshy, 1999);

  • L(n)^2 ≡ L(2 * n) mod 2;

  • L(n)^2 ≡ F(n)^2 mod 4;

  • L(n)^2 ≡ L(n + 1) * L(n – 1) mod 5;

  • L(2^n) ≡ –1 mod 2;
  • L(2^n) ≡ 7 mod 10 (Shannon, 1979);

  • L(5^n) ≡ L(5^(n + 1)) mod 5^(n + 3) (Bruckman, 1980);

  • L(2 * 3^n) ≡ 0 mod 2 * 3^n (Kramer e Hoggatt, 1972);

  • L(3 * 2^n) ≡ 2 mod 2^(n + 4) (Bruckman, 1979);

  • L(2^n * m) ≡ L(m)^(2^n) mod 2;

  • L2mn + k ≡ (–1)mLk mod Ln, per n pari;

  • L2mn + kLk mod Ln, per n dispari.

 

Il prodotto di n numeri di Lucas con indici dispari consecutivi è divisibile per il prodotto dei primi n, ossia dei numeri con indici dispari da L1 a L2n – 1 (Lucas, 1878).

 

Se p è un primo maggiore di 3, Congruenza che coinvolge i numeri di Lucas (Hao Pan e Zhi-Wei Sun, 2011).

 

Zhi-Hong Sun dimostrò nel 1998 che se p è un primo maggiore di 5, tale che Simbolo di Legendre (–15 | p) uguale a 1 e quindi rappresentabile (in un unico modo) come a2 + 15b2, se p ≡ 1 mod 3, o come 5a2 + 3b2, se p ≡ 2 mod 3, con a e b non negativi, allora:

  • Congruenza soddisfatta da alcuni numeri di Lucas, se b è multiplo di 3;

  • Congruenza soddisfatta da alcuni numeri di Lucas, se b non è multiplo di 3.

 

I resti ottenuti dividendo i numeri di Lucas per un qualsiasi intero n si ripetono ciclicamente; in particolare:

  • i resti modulo 2n hanno periodo 3 • 2n – 1;

  • i resti modulo 3n hanno periodo 8 • 3n – 1;

  • i resti modulo 5n hanno periodo 4 • 5n – 1;

  • i resti modulo 10 hanno periodo 12;

  • i resti modulo 100 hanno periodo 60;

  • per n > 2, i resti modulo 10n, ossia le ultime n cifre, si ripetono con periodo 3 • 10n – 1;

  • i resti modulo 40 hanno periodo 12;

  • i resti modulo 4160200 hanno periodo 60;

  • i resti modulo un qualsiasi intero maggiore di 1 si ripetono con un periodo di lunghezza pari.

La massima lunghezza del periodo modulo n è n2 – 1, solo per n uguale a 2 o 3, o 4n, solo per n = 5k; per gli altri interi la lunghezza del periodo è inferiore a 4n.

 

I resti modulo un qualsiasi intero n maggiore di 1 non sono uniformemente distribuiti, ossia non è possibile che ogni resto da 0 a n – 1 compaia lo stesso numero di volte nel periodo.

Tabelle numeriche

I numeri di Lucas sino a L1000.

Bibliografia

  • Bicknell, Majorie;  Hoggatt, Verner E. Jr.;  Fibonacci’s Problem Book, The Fibonacci Association, 1974 -

    Una miniera di problemi e relazioni interessanti, che coinvolgono i numeri di Fibonacci e di Lucas.

  • Dunlap, Richard A.;  The Golden ratio and Fibonacci Numbers, Singapore, World Scientific Publishing Co., 1997.
  • Finkelstein, R.;  London, H.;  "On Fibonacci and Lucas numbers that are perfect powers" in Fibonacci Quarterly, n. 7, 1969.
  • Gardner, Martin;  Mathematical Circus, New York, Alfred A. Knopf, ristampato New York, Vintage Books, 1981, 1979.
  • Koshy, Thomas;  Fibonacci and Lucas Numbers with Applications, New York, John Wiley & Sons, 2001.
  • Stanley, Richard P.;  Enumerative Combinatorics, Cambridge University Press, vol. I, 1997.
  • Vajda, Steven;  Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section, Mineola, New York, Dover, 2008.

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