Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Proprietà legate ai divisori
  3. 3. Altre proprietà
  4. 4. Formule per i numeri di Lucas
  5. 5. Formule per somme di numeri di Lucas
  6. 6. Formule per prodotti e potenze di numeri di Lucas
  7. 7. Serie finite con numeri di Lucas
  8. 8. Serie infinite con numeri di Lucas
  9. 9. Serie con reciproci dei numeri di Lucas
  10. 10. Altre formule
  11. 11. Valori

I numeri di Lucas sono una sequenza completa, nel senso che è possibile rappresentare ogni intero come somma di numeri di Lucas distinti; la rappresentazione è unica solo per 1 e 2.

Se consideriamo solo le rappresentazioni che non contengono numeri di Lucas consecutivi e che contengono al massimo uno tra L0 = 2 e L2 = 3, la rappresentazione è unica per tutti gli interi positivi ed è quella col minor numero di addendi. Per esempio, 13 si può rappresentare come 2 + 4 + 7 o 2 + 1 + 3 + 7, ma con le restrizioni menzionate solo la prima rappresentazione resta valida ed è quella col minor numero di addendi.

 

LnLn + 3 e 2Ln + 1Ln + 2 sono i cateti di un triangolo rettangolo di ipotenusa 2L2n + 2 + L2n + 3 = 5F2n + 3 (Freitag, 1975), caso particolare delle terne pitagoriche formate da numeri di Fibonacci generalizzati.

 

L’equazione 5x2 + 4 = y2 ha per soluzione x = F2n e y = L2n (P. Schub, 1950).

L’equazione 5x2 – 4 = y2 ha per soluzione x = F2n – 1 e y = L2n – 1 (P. Schub, 1950).

 

Come nel caso dei numeri di Fibonacci, anche la determinazione dei numeri di Lucas con caratteristiche particolari è un problema vecchio di secoli, che solo recentemente ha avuto qualche soluzione:

  • nel 1964 John H.E. Cohn dimostrò che gli unici quadrati sono 1 e 4;

  • nel 1969 H. London e R.P. Finkelstein dimostrarono che 1 è l’unico cubo;

  • non si conosce alcuna potenza con esponente superiore a 3, se si eccettua il caso banale 1, ma non è dimostrato che non ne esistano;

  • gli unici numeri della forma n2 + 1 sono 1 e 2 (R.P. Finkelstein 1975);

  • l’unico numero della forma n2 – 1 è 3 (N.R. Robins 1981);

  • gli unici numeri della forma 2n2 sono 2 e 18 (John H.E Cohn 1964); in generale per ogni k non divisibile per un quadrato vi è al massimo un Ln = km2, con m > 1, tranne per k = 1 e 2; i numeri di Lucas multipli di un quadrato sono comunque rari;

  • gli unici numeri della forma n3 + 1 sono 1 e 2 (N.R. Robins 1981);

  • l’unico numero della forma n3 – 1 è 7 (N.R. Robins 1981);

  • nel 1990 L. Ming dimostrò che gli unici numeri di Lucas triangolari sono 1, 3 e 5778;

  • W.L. McDaniel dimostrò nel 1998 che l’unico numero di Lucas oblungo è L0 = 2, riscoprendo un risultato pubblicato per la prima volta da L. Ming (1995);

  • gli unici noti della forma p# + 1 sono 2# + 1 = 3 = L2 e 3# + 1 = 7 = L4;

  • gli unici appartenenti alla sequenza di Smarandache S(n), formata concatenando i numeri naturali in notazione decimale, sono sono L1 = 1 e L10 = 123;

  • l’unico noto appartenente alla sequenza di Smarandache Sp(n), formata concatenando i numeri pari in notazione decimale, è L0 = 2; Charles Asbacher avanzò nel 1998 la congettura che non ve ne siano altri;

  • l’unico noto appartenente alla sequenza di Smarandache Sd(n), formata concatenando i numeri dispari in notazione decimale, è L1 = 1; Charles Asbacher avanzò nel 1998 la congettura che non ve ne siano altri.

 

Daniel Baczkowski, Olaolu Fasoranti e Carrie E. Finch dimostrarono che vi sono infiniti numeri di Riesel e di Sierpiński tra i numeri di Lucas e più precisamente:

  • Lk è un numero di Riesel se k diviso 55716312432816 dà resto 17304307932583, 19044893268919, 20236745429047, 21977330765383, 23580842262103, 25321427598439, 26513279758567, 28253865094903, 38386155880135, 40126741216471, 41318593376599, 43059178712935, 44662690209655, 46403275545991, 47595127706119 o 49335713042455;

  • Lk è un numero di Sierpiński se k diviso 55716312432816 dà resto 3563460609625, 5304045945961, 6380599390361, 6495898106089, 8121184726697, 8236483442425, 9313036886825, 9839994939145, 11053622223161, 11580580275481, 12657133719881, 12772432435609, 14397719056217, 14513017771945, 15589571216345, 17330156552681, 27462447337913, 29203032674249, 30394884834377, 32135470170713, 33738981667433, 35479567003769, 36671419163897, 38197925094889, 38412004500233, 39938510431225, 41130362591353, 42870947927689, 44474459424409, 46215044760745, 47406896920873 o 49147482257209.

 

Daniel Baczkowski, Olaolu Fasoranti e Carrie E. Finch dimostrarono che vi sono infiniti numeri di Lucas (dispari) che non sono la somma di due potenze di primi, ossia che non sono somma di una potenza di 2 e di una potenza di un primo.

 

Paulo Ribenboim dimostrò nel 1999 che, supponendo vera la cosiddetta congettura “abc” (che tutti ritengono vera, ma sembra più difficile da dimostrare dell’ultimo teorema di Fermat), i numeri di Fibonacci e di Lucas potenti o multipli di numeri potenti sono in numero finito.

 

Nessun numero di Lucas pari è perfetto.

 

Il determinante di una matrice tridiagonale di ordine n del tipo Matrice tridiagonale (dove i è l’unità immaginaria) è Ln.

 

Per i numeri di Lucas come elementi di prodotti di matrici v. numeri di Fibonacci.

 

Serie che coinvolge i numeri di Lucas e ha valore trascendente è trascendente (Y. Nesterenko, 1996).

Serie che coinvolge i numeri di Lucas e ha valore trascendente è trascendente (Y. Nesterenko, 1996).

Serie che coinvolge i numeri di Lucas e ha valore irrazionale è irrazionale per x intero non nullo, a e b interi non nulli e primi tra loro e ab (Tapani Matala-Aho e Marc Prévost, 2003; v. costante del reciproco di Fibonacci).

Serie che coinvolge i numeri di Lucas e ha valore irrazionale è irrazionale.

 

Nel 2014 Zhi-Wei Sun avanzò la congettura che per ogni primo p esista un intero n ≤ sqrt/p + 2) + 2, tale che Ln + 1 sia una radice primitiva modulo p; la congettura non vale per Ln, perché per esempio nessun numero di Fibonacci è radice primitiva di 28657.

 

Zhi-Wei Sun avanzò la congettura che per n > 2 esista un numero di Lucas minore di n che non è residuo quadratico modulo n.

 

I numeri di Lucas noti la cui somma delle cifre sia un numero di Lucas sono:

L0 = 2, somma delle cifre 2 = L0;

L1 = 1, somma delle cifre 1 = L1;

L2 = 3, somma delle cifre 3 = L2;

L3 = 4, somma delle cifre 4 = L3;

L4 = 7, somma delle cifre 7 = L4;

L7 = 29, somma delle cifre 11 = L5;

L8 = 47, somma delle cifre 11 = L5;

L12 = 322, somma delle cifre 7 = L4;

L16 = 2207, somma delle cifre 11 = L5;

L29 = 1149851, somma delle cifre 29 = L7;

L48 = 10749957122, somma delle cifre 47 = L8;

L53 = 119218851371, somma delle cifre 47 = L8;

L55 = 312119004989, somma delle cifre 47 = L8;

L56 = 505019158607, somma delle cifre 47 = L8;

L81 = 84722519070079276, somma delle cifre 76 = L9;

L105 = 8784200221406821330636, somma delle cifre 76 = L9;

L130 = 1473646213395791149646646123, somma delle cifre 123 = L10;

L203 = 2657608295638762232902023676028758508503879, somma delle cifre 199 = L11;

L355 = 155100175325983067344467550122512779457028612640730866246177518045760709989, somma delle cifre 322 = L12;

L396 = 57425599664273651155426164453703210833432405126720126151354447659456104341850050882, somma delle cifre 322 = L12;

L637 = 13339109548247322530405519301566957584714715607412691370332378730059342610586857104016871674018133996730515304222816593025033040084521, somma delle cifre 521 = L13;

L854 = 29884416013329082062895523188695464065832166826608078540156887805230825650875263865989278013988488498205451416997375581445391431005130590552931749910563663485589449814644718477243, somma delle cifre 843 = L14;

L2285 = 3441580807980603086978855095843695717397490115663886492551800310946993152534247134821246859581058933779288842299332335049512385137060778663194068117212440367166436379003665899699417964103126780961102866744850046905212059511126995007326679114858340761055499892570760390942298179628494945047725571085100992545261841427437457821630178751527037344594039527718759461905908654151969395220243373599858849582563269314914586521942004983242724658967363760531971264499514568480858480198011, somma delle cifre 2207 = L16;

L2336 = 156721155107632324312521235444755161732304222602208868995191303327386733115626347318158986593994604805374173666976554226481363301245864550795188000607800509319123870416433530384727284744788595535419361921465906915529609415581558984044059800518668840296812777958598028673741298735632239722094514784789684279425279830676068845003604140263368705427128032374351412851729498369058954240167769585952839941693856841076257314743741485141370653178066479676550200795970837256509135319972395526281407, somma delle cifre 2207 = L16;

L9739 = 21410578141767313576207388592406258712880891163050391332274521885520919071913261302298963211896371902457622375806827939492855828659313082061991117751761307128707135536813814594055895748505857316267653042211980636630492256590890597829093227558861731658312899786585488052068625438676627258944580701173993270511240988033582635368379165879559320789563246031673344130579076071499195676542081311020450816722221244619392267040667941050345960954190466487391574370671063084758105010889493683522895293006525146309073288737975322020586948679779824786196851054713018047169728999925281958480711403728302897009269480793482745855611855293842771203752295993903651243231099482500053636906044888393130907808993586150277490870714656783475976622878099909331793984290811033344197263964067607751314593833474627828121137962489102986580175414177816559351938915245290585230734894121083403400560144460586968875884857335738991254353018752380685431900456503812099963817038500687786446360437713292770179297828875930764168711649355888997757356181607532179556001318838625690715565380284573278497846141374258383239701834136870360925163876192090381306623972680785126008966686122945524327063585970088499564178122279147413081550050274276854038910369827407793079577348353044502366458901828937572566101844139483197664681482088397721149901783962846736112032413084461961760406975410454041952544223903782608696617705038857083851686989247846088448346957600330545544718889790499490499974018340456912024394137805348707267589337885932645167241911754721326773982977204091323728089114865308382237644323878394463370371328374020300048248502271189520584010877462534868866748824981139811761476853667750297593837912044830814281361842348401469956881614098390143142265036765448665317743203324386382032856060640644668955617720920096359282117219766131786130504156736455113222784741824977986306654235629363397249509737557622038174622235351092359225050699614535386350794983676049007969776080686554220828298987163752897827234652835481206866816946583943793383622689466184289974363527415564548949, somma delle cifre 9349 = L19;

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L9892 = 2021796092202125561603806525565313986435956465629014126634045570764537072311476043332829386526098958972949748076099110071544461147455201467057998792198306883324523415962907733449067627228904775624004183850438210841109640518936949962845813252670473461791382333249627896983096816643440765722851078216023650571514764345934022731158875369356107860620780302427523700359416778705582684322502696994080997511021129690529469832879112393908647637520313954542939043638591047420483094898773514849208317335950309769751542461095771918289510798754347978641192217152078978397942609485245535349998922225522130338586755038437155883165870558468176237100512135493873859865851573572646079010116726211070468760521779254554213942272449736737558524230143877983574390299588902788725761520224598597226758474712147706282757185614210303591043981264022156365832110415473467185966688669052917167872820923677226163927022995069109753145153720825449489978778940413196281081934167779613313981403190511651224071811019134940158995226547271994937610826617090341784128079069129141859216111855822190999889604895368532674255997236041922655890223225717317979636285137097335560544521583736700179573465879025663654783700188922713984051280496775769088769315326255002232144996619928228012068839790931141790333767589138447438588780401955138961137244269986102013596047910007614517004125620763830739423739922641720260028119322765560632451426343193240514237920965490018281175006070356000191263352876667229217727437785670588427179613570060026620559472433953963408379079698166705051530911040643302727248331524937939771038328991591678044568294350812965246183478249567108110330803340582414066714660883928398358713020362033251947735148438885390221987676974503505187055834358456379977176294772646627169628834718604485699682848513321658970467959849081200804475012805001688606687895162282274397395152466321358858216048633641109241490170958748843705296109948062675703514772754199119170276692875534598265087624157989534315725837945259672341787680774854961971686489537538902878568205977711086353739741023878332346544817126143047, somma delle cifre 9349 = L19;

L9916 = 209623862412200810521740904478707665796210706902196267353565259682429221777821269715596715917477352505142229223729668583851755066740604319925045126730958724646716284678147930198388709972706074762216564144345363653627040466728367003814658066157298634628405754170522244997269035204462449147472172153527416384058954653950673868399428889210963329337378737864629061033156903581989478789510213092406728147210367841144203754265360738255206509143248576085895592261723138983575452756236093523526501079068231802407507362439877545675683470014618527324106946831690420868960032865734663235880546272375897356489621097642674463654339266385984834837440053313829069934218930427278965281865882088188312798901339423742476906598329793120231289222092028774262609752847085924189060469261158373350695167967516183025107134212360590994314455426515713730649450724931392486323032100467990340417722572251482049682283039370785333146779756935009502078627465012040124671474613815547135483275709801038379356019009663455500971510344887088550459218112826071473245607893218583967601428152843370721290205975729729981936288285194626994987895421159111084011992814952896070376826953936375131595930117209601033341648025140574657124498589272143706399014822847687587380263748592802081791580551467381304157158674926130153451097248902406451217277030260486818114600186021413418197802444220056457209173238268940604689976450848745906375308466202910127273202067690271615998102964837863542646931645165571860569543938553407357793934621951393805661488113690755089469944298345488212547903203543657908783917019965116255376143578421170891715418834699941818877889795996494212322076541960926284514638119587016379057539829509205413465031359040267144543960763476281550634296617991282803168499947898655608922111216167267571777881951864340434456967473750705766283309707645257759095853837179970787686055043878394964772568951665580306126319649583250929219656778655707750014819889909779277069353286807764567387295705272356536436190758275371612451736582103593198368042043919175603584401345626852191289050139411047229531230473830213681207, somma delle cifre 9349 = L19;

L9948 = 1021045761358838044898117713624673193376790393271389164623030605538862462877220613621358093031028357337592606710649465469942040623905464203252743258186795785894927440087635236754213785555988135552118541665833048435437031314507673919007313316190645118485606813693576968433317776394233905552968375523926682623121173011435980343527225662758731499279932315122442140634087888725035279503430473076914622816555405178617442927237709582102978189489531744161470024246776799412198811549513801002111501513855322863053700974099417404198611011368225227882524768969350747640558842264979509286632941159906306237997245792722841200776689264727861795477679221879464995219989635993631522615774227544896306093836652638643667242533366675194588550635561593284747845096619639235776442251230050928875412866165485675321947910443877124241227862349283153470356072557651842022305868716720878481302914610850553505119889448062597384447672832732505240230735433562722844402851879851684553972748900875600206831840580567228691458878653399873978998192665200811050116190144823731430347161707691405670759775159463895280615206347470496551928103636788630090510385362071055828916415201694834023514869212872277257856741968499659670592038620944893262867164342402023201969420204278460489063395641297013314511562165264196758112209860461913689835436947243940485184884034938680319098399835121332186648874160047974881659729828874543907273204411756833532094045595884395181718133892528723974635593011795014527613927779871363126678541554694303710294515086288100618680290400347551740080092972489155590135459687495471743606114079972255386741925999882284605569166387700228136566108459967696041601107163968629289878755137877760231382307157233228094142150126721971240770748491301437849768755714144415398593283587186354240971084085105012554918814325749037474223869790295687117399214187591152957471044722381802316703726571640554791587537101800488507225904427519182524614838705240773602089857073560077577881299616868824237175293476898801471585708784837530765781537760863062163565369611293512450422128483975053512078282394889693631035149122, somma delle cifre 9349 = L19;

L16193, somma delle cifre 15127 = L20;

L26151, somma delle cifre 24476 = L21;

L41998, somma delle cifre 39603 = L22;

L42670, somma delle cifre 39603 = L22;

L68135, somma delle cifre 64079 = L23;

L68413, somma delle cifre 64079 = L23;

L68567, somma delle cifre 64079 = L23.

Se ne esistono altri, il loro indice è maggiore di 100000 (M. Fiorentini, 2018).

 

Altre proprietà, comuni ai numeri di Fibonacci, si trovano alla voce numeri di Fibonacci generalizzati.

Tabelle numeriche

I numeri di Lucas sino a L1000.

Bibliografia

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    Una miniera di problemi e relazioni interessanti, che coinvolgono i numeri di Fibonacci e di Lucas.

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