I polinomi di grado n maggiore di zero, con coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1 che meno di discostano dallo zero nell’intervallo [0 .. 1], ossia tali che sia minimo, sono i polinomi pn(x) = 21 – 2nT(2x – 1), dove Tn(x) è un polinomio di Chebyshev di prima specie.
pn(x) è di grado n, ha n + 1 estremi (massimi e minimi), due dei quali agli estremi dell’intervallo, tutti uguali in valore assoluto a , alternativamente positivi e negativi. Quindi .
La figura seguente mostra una parte del grafico dei primi polinomi pn(x).
La tabella seguente riporta i primi polinomi pn(x).
n |
pn(x) |
1 |
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20 |
Mentre massimi e minimi tendono a zero, , come mostra la tabella seguente, che riporta i valori assoluti di massimi e minimi dei primi polinomi e le loro radici n-esime.
n |
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1 |
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20 |
Se ci limitiamo a polinomi a coefficienti interi, il problema di trovare quelli che meno si discostino dallo zero (col vincolo che il coefficiente del termine di grado massimo sia maggiore di zero) diviene molto più complesso: i polinomi migliori, detti “polinomi interi di Chebyshev” non sono più necessariamente unici, fissato il grado, né ricavabili con una semplice formula.
La figura seguente mostra una parte del grafico di alcuni dei primi polinomi interi di Chebyshev.
La tabella seguente mostra i primi polinomi interi di Chebyshev.
n |
pn(x) |
1 |
x, x – 1, 2x – 1 |
2 |
x(x – 1) |
3 |
x(x – 1)(2x – 1) |
4 |
x2(x – 1)2, x(x – 1)(2x – 1)2, x(x – 1)(5x2 – 5x + 1) |
5 |
x2(x – 1)2(2x – 1) |
6 |
x2(x – 1)2(2x – 1)2 |
7 |
x3(x – 1)3(2x – 1) |
8 |
x3(x – 1)3(2x – 1)2 |
9 |
x3(x – 1)3(2x – 1)(5x2 – 5x + 1) |
10 |
x4(x – 1)4(2x – 1)2 |
11 |
x4(x – 1)4(2x – 1)(5x2 – 5x + 1) |
12 |
x4(x – 1)4(2x – 1)2(5x2 – 5x + 1) |
13 |
x4(x – 1)4(2x – 1)(5x2 – 5x + 1)2 |
14 |
x5(x – 1)5(2x – 1)2(5x2 – 5x + 1) |
15 |
x5(x – 1)5(2x – 1)3(5x2 – 5x + 1) |
16 |
x6(x – 1)6(2x – 1)2(5x2 – 5x + 1) |
17 |
x6(x – 1)6(2x – 1)3(5x2 – 5x + 1) |
18 |
x6(x – 1)6(2x – 1)2(5x2 – 5x + 1)2 |
19 |
x7(x – 1)7(2x – 1)3(5x2 – 5x + 1) |
20 |
x6(x – 1)6(2x – 1)2(5x2 – 5x + 1)2(29x4 − 58x3 + 40x2 − 11x + 1) |
La tabella seguente mostra i massimi e minimi dei primi polinomi interi di Chebyshev e le loro radici n-esime.
n |
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1 |
1 |
1 |
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3 |
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4 |
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6 |
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19 |
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20 |
≈ 0.0000000632 |
≈ 0.4365475719 |
Anche in questo caso esiste e il valore è chiamato “costante dei polinomi interi di Chebyshev”, sebbene i polinomi coinvolti non siano polinomi di Chebyshev.
I primi polinomi hanno tutti gli zeri reali e compresi tra 0 e 1, ma questa proprietà non vale sempre: Laurent Habsieger e Bruno Salvy calcolarono nel 1997 tutti i polinomi interi di Chebyshev fino al grado 75, scoprendo che p70(x) ha 4 zeri non reali.
Nel 2009 Alan Meichsner calcolò tutti i polinomi interi di Chebyshev fino al grado 145 e molti di grado superiore.