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Chebyshev interi (polinomi di)

Polinomi 

I polinomi di grado n maggiore di zero, con coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1 che meno di discostano dallo zero nell’intervallo [0 .. 1], ossia tali che Massimo del valore assoluto di p(x), per x tra 0 e 1 sia minimo, sono i polinomi pn(x) = 21 – 2nT(2x – 1), dove Tn(x) è un polinomio di Chebyshev di prima specie.

 

pn(x) è di grado n, ha n + 1 estremi (massimi e minimi), due dei quali agli estremi dell’intervallo, tutti uguali in valore assoluto a 1 / 2^(2 * n – 1), alternativamente positivi e negativi. Quindi |pn(0)| = |pn(0)| = 1 / 2^(2 * n – 1).

 

La figura seguente mostra una parte del grafico dei primi polinomi pn(x).

 

Grafico dei primi polinomi pn(x)

 

 

La tabella seguente riporta i primi polinomi pn(x).

n

pn(x)

1

Polinomio p1

2

Polinomio p2

3

Polinomio p3

4

Polinomio p4

5

Polinomio p5

6

Polinomio p6

7

Polinomio p7

8

Polinomio p8

9

Polinomio p9

10

Polinomio p10

11

Polinomio p11

12

Polinomio p12

13

Polinomio p13

14

Polinomio p14

15

Polinomio p15

16

Polinomio p16

17

Polinomio p17

18

Polinomio p18

19

Polinomio p19

20

Polinomio p20

 

Mentre massimi e minimi tendono a zero, Limite della radice n-esima del massimo del valore assoluto di pn(x), per x tra 0 e 1, uguale a 1 / 4, come mostra la tabella seguente, che riporta i valori assoluti di massimi e minimi dei primi polinomi e le loro radici n-esime.

n

1 / 2^(2 * n – 1)

(1 / 2^(2 * n – 1))^(1 / n) = 1 / (2 * 2^((n – 1)/n))

1

1 / 2

1 / 2

2

1 / 8

1 / (2 * sqrt(2))

3

1 / 32

1 / (2 * 4^(1 / 3))

4

1 / 128

1 / (2 * 8^(1 / 4))

5

1 / 512

1 / (2 * 16^(1 / 5))

6

1 / 2048

1 / (2 * 32^(1 / 6))

7

1 / 8192

1 / (2 * 64^(1 / 7))

8

1 / 32768

1 / (2 * 128^(1 / 8))

9

1 / 131072

1 / (2 * 256^(1 / 9))

10

1 / 524288

1 / (2 * 512^(1 / 10))

11

1 / 2097152

1 / (2 * 1024^(1 / 11))

12

1 / 8388608

1 / (2 * 2048^(1 / 12))

13

1 / 33554432

1 / (2 * 4096^(1 / 13))

14

1 / 134217728

1 / (2 * 8192^(1 / 14))

15

1 / 536870912

1 / (2 * 16384^(1 / 15))

16

1 / 2147483648

1 / (2 * 32768^(1 / 16))

17

1 / 8589934592

1 / (2 * 65536^(1 / 17))

18

1 / 34359738368

1 / (2 * 131072^(1 / 18))

19

1 / 137438953472

1 / (2 * 262144^(1 / 19))

20

1 / 549755813888

1 / (2 * 524288^(1 / 20))

 

Se ci limitiamo a polinomi a coefficienti interi, il problema di trovare quelli che meno si discostino dallo zero (col vincolo che il coefficiente del termine di grado massimo sia maggiore di zero) diviene molto più complesso: i polinomi migliori, detti “polinomi interi di Chebyshev” non sono più necessariamente unici, fissato il grado, né ricavabili con una semplice formula.

 

La figura seguente mostra una parte del grafico di alcuni dei primi polinomi interi di Chebyshev.

 

Grafico dei primi polinomi interi di Chebyshev

 

 

La tabella seguente mostra i primi polinomi interi di Chebyshev.

n

pn(x)

1

x, x – 1, 2x – 1

2

x(x – 1)

3

x(x – 1)(2x – 1)

4

x2(x – 1)2, x(x – 1)(2x – 1)2, x(x – 1)(5x2 – 5x + 1)

5

x2(x – 1)2(2x – 1)

6

x2(x – 1)2(2x – 1)2

7

x3(x – 1)3(2x – 1)

8

x3(x – 1)3(2x – 1)2

9

x3(x – 1)3(2x – 1)(5x2 – 5x + 1)

10

x4(x – 1)4(2x – 1)2

11

x4(x – 1)4(2x – 1)(5x2 – 5x + 1)

12

x4(x – 1)4(2x – 1)2(5x2 – 5x + 1)

13

x4(x – 1)4(2x – 1)(5x2 – 5x + 1)2

14

x5(x – 1)5(2x – 1)2(5x2 – 5x + 1)

15

x5(x – 1)5(2x – 1)3(5x2 – 5x + 1)

16

x6(x – 1)6(2x – 1)2(5x2 – 5x + 1)

17

x6(x – 1)6(2x – 1)3(5x2 – 5x + 1)

18

x6(x – 1)6(2x – 1)2(5x2 – 5x + 1)2

19

x7(x – 1)7(2x – 1)3(5x2 – 5x + 1)

20

x6(x – 1)6(2x – 1)2(5x2 – 5x + 1)2(29x4 − 58x3 + 40x2 − 11x + 1)

 

La tabella seguente mostra i massimi e minimi dei primi polinomi interi di Chebyshev e le loro radici n-esime.

n

Massimo del valore assoluto di pn(x), per x tra 0 e 1

Radice n-esima del massimo del valore assoluto di pn(x), per x tra 0 e 1

1

1

1

2

Massimo del valore assoluto di p2(x), per x tra 0 e 1

Radice quadrata del massimo del valore assoluto di p2(x), per x tra 0 e 1

3

Massimo del valore assoluto di p3(x), per x tra 0 e 1

Radice cubica del massimo del valore assoluto di p3(x), per x tra 0 e 1

4

Massimo del valore assoluto di p4(x), per x tra 0 e 1

Radice quarta del massimo del valore assoluto di p4(x), per x tra 0 e 1

5

Massimo del valore assoluto di p5(x), per x tra 0 e 1

Radice quinta del massimo del valore assoluto di p5(x), per x tra 0 e 1

6

Massimo del valore assoluto di p6(x), per x tra 0 e 1

Radice sesta del massimo del valore assoluto di p6(x), per x tra 0 e 1

7

Massimo del valore assoluto di p7(x), per x tra 0 e 1

Radice settima del massimo del valore assoluto di p7(x), per x tra 0 e 1

8

Massimo del valore assoluto di p8(x), per x tra 0 e 1

Radice ottava del massimo del valore assoluto di p8(x), per x tra 0 e 1

9

Massimo del valore assoluto di p9(x), per x tra 0 e 1

Radice nona del massimo del valore assoluto di p9(x), per x tra 0 e 1

10

Massimo del valore assoluto di p10(x), per x tra 0 e 1

Radice decima del massimo del valore assoluto di p10(x), per x tra 0 e 1

11

Massimo del valore assoluto di p11(x), per x tra 0 e 1

Radice undicesima del massimo del valore assoluto di p11(x), per x tra 0 e 1

12

Massimo del valore assoluto di p12(x), per x tra 0 e 1

Radice dodicesima del massimo del valore assoluto di p12(x), per x tra 0 e 1

13

Massimo del valore assoluto di p13(x), per x tra 0 e 1

Radice tredicesima del massimo del valore assoluto di p13(x), per x tra 0 e 1

14

Massimo del valore assoluto di p14(x), per x tra 0 e 1

Radice quattordicesima del massimo del valore assoluto di p14(x), per x tra 0 e 1

15

Massimo del valore assoluto di p15(x), per x tra 0 e 1

Radice quindicesima del massimo del valore assoluto di p15(x), per x tra 0 e 1

16

Massimo del valore assoluto di p16(x), per x tra 0 e 1

Radice sedicesima del massimo del valore assoluto di p16(x), per x tra 0 e 1

17

Massimo del valore assoluto di p17(x), per x tra 0 e 1

Radice diciassettesima del massimo del valore assoluto di p17(x), per x tra 0 e 1

18

Massimo del valore assoluto di p18(x), per x tra 0 e 1

Radice diciottesima del massimo del valore assoluto di p18(x), per x tra 0 e 1

19

Massimo del valore assoluto di p19(x), per x tra 0 e 1

Radice diciannovesima del massimo del valore assoluto di p19(x), per x tra 0 e 1

20

≈ 0.0000000632

≈ 0.4365475719

 

Anche in questo caso esiste Limite della radice n-esima del massimo del valore assoluto di pn(x), per x tra 0 e 1 e il valore è chiamato “costante dei polinomi interi di Chebyshev”, sebbene i polinomi coinvolti non siano polinomi di Chebyshev.

 

I primi polinomi hanno tutti gli zeri reali e compresi tra 0 e 1, ma questa proprietà non vale sempre: Laurent Habsieger e Bruno Salvy calcolarono nel 1997 tutti i polinomi interi di Chebyshev fino al grado 75, scoprendo che p70(x) ha 4 zeri non reali.

 

Nel 2009 Alan Meichsner calcolò tutti i polinomi interi di Chebyshev fino al grado 145 e molti di grado superiore.

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