Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule
  3. 3. “Torri” di esponenti

Alcune formule che coinvolgono potenze:

0y = 0, per y≠ 0;

1y = 1;

(–x)y = eyxa per x ≠ 0 e in particolare (–1)y = ey;

i^y = e^((i * π * y) / 2);

x0 = 1, per x ≠ 0;

x1 = x;

xaxb = xa + b, per x diverso da 0 (la dimostrazione risale ad Archimede);

x^a / x^b = x^(a – b) e in particolare 1 / x^a = x^(–1), per x diverso da 0;

xa + b = xaxb;

(xa)b = xab, per a e b reali;

xaya = (xy)a, per x, y reali positivi e a reale;

Formula per la definizione di potenze con esponente razionale e in particolare Formula per la definizione di x^(1 / a) e x^(1 / 2) = sqrt(x);

Formula per la somma di potenze;

Formula per la differenza di potenze;

xy = eylogx;

Re(xz) = xRe(z)cos(Im(z)logx), Im(xz) = xRe(z)sin(Im(z)logx) e |xz| = xRe(z), per x reale e maggiore di zero;

Re((i * y)^x) = |y|^x * cos(π * x / 2), per x e y reali, Im((i * y)^x) = |y|^x * sin(π * x / 2), per x reale e y reale positivo e |(iy)x| = |y|x, per x e y reali;

|zy| = |z|y, per y reale;

|zix| = exIm(logz), per x reale;

|zix| = extan–1(Im(z), Re(z)) , per x reale;

Re(zx) = |z|xcos(xtan–1(Im(z), Re(z)), Im(zx) = |z|xsin(xtan–1(Im(z), Re(z)) e |zx| = |z|x, per x reale;

|zw| = eRe(wlogz);

Formula per Re(z^x);

Formula per Im(z^x) e Formula per Im(z^x), per x reale;

Formula per Re(z^n) e Formula per Im(z^n), per n intero positivo;

Formula per arctan(Im(z^w), Re(z^w)) e in particolare Formula per arctan(Im(z^x), Re(z^x)), per x reale;

Formula per arctan(Im(z^x), Re(z^x)), per x reale;

xw = xRe(w)(cos(Im(w)logx) – isin(Im(w)logx)), per x reale e maggiore di zero;

Formula per z elevata al coniugato di w;

Formula per il coniugato di z elevato a w;

zx = |z|x(cos(tan–1(Im(w), Re(w))) – isin(tan–1(Im(w), Re(w)))), per x reale;

zw = |z|Re(w)ewtan–1(Im(w), Re(w)) – iIm(w)log|z|;

zw = zw(cos(2tan–1(Im(w), Re(w))) – isin(2tan–1(Im(w), Re(w))))ewtan–1(Im(z), Re(z))(Icos(2tan–1(Im(w), Re(w))) + sin(2tan–1(Im(w), Re(w))));

zw = zw;

zlogzw = w;

logz(zw) = w;

zw = ewlogz;

zlogw = wlogz;

z^w = z^(w + 2 * i * π / log(z));

z^(log(w) / log(z)) = w;

Sviluppo in serie per il calcolo di una potenza, dove Un(x) è l’n-esimo polinomio di Chebyshev di seconda specie;

Sviluppo in serie per il calcolo di una potenza, dove Hn(x) è l’n-esimo polinomio di Hermite;

Sviluppo in serie per il calcolo di una potenza;

Sviluppo in serie per il calcolo di una potenza;

Formula per una somma di potenze;

Formula per una somma di potenze, per x reale positivo, dove Bk(n) indica il k-esimo polinomio di Bernoulli;

Formula per il valore di una potenza, per |z| < 1 e w non intero, e quindi Formula per il valore di una potenza, per |1 – z| < 1 e w non intero;

Formula per il valore di una potenza, per |z| < 1, e in particolare Formula per il valore di una potenza e Formula per il valore di una potenza;

Formula per il valore di una potenza e in particolare Formula per il valore di una potenza e Formula per una somma di potenze;

Formula che coinvolge potenze, per Limite superiore per il valore assoluto di s;

Disuguaglianza che coinvolge le potenze, per 0 < x < y o 1 < x < y;

Disuguaglianza che coinvolge le potenze, per 0 < x < y o 1 < x < y;

Disuguaglianza che coinvolge le potenze, per x ≥ 1.

 

Alcuni limiti che coinvolgono potenze:

Limite che coinvolge potenze;

Limite che coinvolge potenze;

Limite che coinvolge potenze, per t reale positivo;

Limite che coinvolge potenze, per x reale e maggiore di 0;

Limite che coinvolge potenze, per x reale e maggiore di 0.

 

Alcune derivate che coinvolgono potenze:

Formula per la derivata n-esima di una potenza e in particolare Formula per la derivata n-esima di una potenza, Formula per la derivata n-esima di una potenza, Formula per la derivata n-esima di una potenza, Formula per la derivata di una potenza e Formula per la derivata seconda di una potenza;

Formula per la derivata n-esima di una potenza;

Formula per la derivata n-esima di una potenza;

Formula per la derivata di una potenza;

Formula per la derivata seconda di una potenza.

 

Alcuni integrali indefiniti che coinvolgono potenze:

Integrale indefinito di x^y, per y diverso da –1, e in particolare Integrale per x da 0 a 1 di x^y, per y diverso da –1;

Integrale indefinito di x^(–1);

Integrale indefinito di x^(a * y) e in particolare Integrale per y da 0 a 1 di x^y;

Integrale indefinito di x^(–a * y^2);

Integrale indefinito di x^(–a * y^2);

Integrale indefinito di x^(a * sqrt(y));

Integrale indefinito di x^(a * y^b) / y e in particolare Integrale indefinito di x^(a * y) / y:

Integrale indefinito di x^(a^y);

Integrale indefinito di un prodotto di esponenziali e in particolare Integrale indefinito di un prodotto di esponenziali e Integrale indefinito di un prodotto di esponenziali.

 

Alcuni integrali definiti che coinvolgono potenze:

Formula per l’integrale da 0 a 1 di x^a * (1 – x)^b, per a e b non negativi;

Formula per l’integrale da 0 a 1 di x^a * (1 – x)^b * log(x), per a e b non negativi;

Formula per l’integrale per x da 0 a 1 di x^y * log(x), per y > –1;

Integrale legato a potenze;

Integrale legato a potenze.

 

Alcune disugualianze:

y^(x^y) / x^(y^x) > y / x > y^x / x^y, per 0 < x < y < 1 o 1 < x < y;

(y / x)^(y^x) > y^x / x^y, per 0 < x < y < 1 o 1 < x < y.

 

Vi sono alcune identità che convolgono somme e prodotti contenenti potenze:

  • Identità di Eulero, per 0 < |x| < 1 (Eulero);

  • Identità di Rogers – Ramanujan, per 0 < |x| < 1, detta “prima identità di Rogers – Ramanujan” (v. anche numero di partizioni);

  • Identità di Rogers – Ramanujan, per 0 < |x| < 1 detta “seconda identità di Rogers – Ramanujan” (v. anche numero di partizioni;

  • identità del triplo prodotto, per 0 < |q| < 1 e x diverso da 0, formula detta “identità del triplo prodotto”, che si può anche esprimere nella forma equivalente identità del triplo prodotto (Jacobi);

  • identità del quintuplo prodotto, per 0 < |q| < 1 e x diverso da 0, formula detta “identità del quintuplo prodotto”, che si può anche esprimere nella forma equivalente identità del quintuplo prodotto (G.N. Watson, 1929).

 

Alcune equazioni differenziali (nelle soluzioni c1 e c2 sono costanti da determinare):

  • la soluzione dell’equazione differenziale ay = xy’ è c1xa;
  • la soluzione dell’equazione differenziale yy” = y2 è c1ec2x;
  • la soluzione dell’equazione differenziale y’ = yf’(x)logz è c1zf(x) e in particolare la soluzione dell’equazione differenziale y’ = ylogz è c1zx;
  • la soluzione dell’equazione differenziale y' = y * a * g'(x) / f(x) è c1f(x)a;
  • la soluzione dell’equazione differenziale y' = y * (a * f'(x) / f(x) + g'(x) / g(x)) è c1g(x)f(x)a.
  • la soluzione dell’equazione differenziale y' = y * (log(z) * f'(x) + g'(x) / g(x)) è c1g(x)f(x).

 

Alcune frazioni continue che coinvolgono potenze:

Frazione continua per (1 + z)^a, per z non reale e minore di –1;

Frazione continua per (1 + z)^a, per |z| ≤ 1 / 2;

Frazione continua per (1 + z)^a, per z non reale e minore di –1;

Frazione continua per (1 + z)^a, per |z| < 1.

 

Frazione continua per z^(1 / z), per z non reale e negativo o nullo (A.N. Khovanskii, 1963);

Frazione continua per z^(1 / z), per z non reale e negativo o nullo (A.N. Khovanskii, 1963).

 

Per altre formule v. funzione ex.

Bibliografia

  • Zwillinger, Daniel;  CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 30th edition, 1996.

Contattami

Potete contattarmi al seguente indirizzo bitman[at]bitman.name per suggerimenti o segnalazioni d'errori relativi a questo articolo.