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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule
  3. 3. “Torri” di esponenti

Una sequenza di esponenti come abc si intende che vada considerata come a(bc); se la “torre” di esponenti è infinita, il valore è il limite (se esiste) cui tende la sequenza dei valori ottenuti considerando un numero crescente di esponenti.

 

Per le “torri” finite di esponenti uguali vale la formula Formula per il calcolo di (e^z)^(e^z)^...(e^z) e quindi Formula per il calcolo di z^z^...z e Formula per il calcolo dell'integrale di x^x^...x, dove m è il numero di elementi della “torre”, contando anche la base, c è una costante arbitraria e am, n è 1, se n = 0, 1 / n!, se m = 1, e Formula per a(m, n) altrimenti.

 

Per le “torri” infinite di esponenti valgono alcune formule:

Formula per il calcolo di x^x^x^..., per 1 / e^e ≤ x ≤ e^(1 / e) (Eulero, 1783);

Formula per il calcolo di x^(1 / x)^(1 / x)^..., per 1 / e^e ≤ x ≤ e^e.

 

Data una sequenza definita come an, m, = (n mod m) + 2, il limite cui tende sequenza di potenze Sequenza infinita di potenze al crescere del numero di esponenti è finito se m + 1 / e^e ≤ x ≤ 2 * e^e.

 

Al crescere del numero di esponenti, la sequenza di potenze Sequenza infinita di potenze oscilla, con i termini con numero pari e dispari di potenze che tendono a circa 0.6583655992, se l’ultimo denominatore in cima alla torre di esponenti è pari, e 0.6903471261 se è dispari (Lew Baxter).

Qui trovate le prime 105 cifre decimali del limite per esponente superiore pari (Jean-François Alcover e Alois P. Heinz, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 105 cifre decimali del limite per esponente superiore dispari (Jean-François Alcover e Alois P. Heinz, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

Al crescere del numero di esponenti, la sequenza di potenze Sequenza infinita di potenze tende a Limite cui tende la sequenza infinita di potenze.

Qui trovate le prime 101 cifre decimali della parte reale del limite (Eric W. Weisstein, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

Qui trovate le prime 101 cifre decimali della parte immaginaria del limite (Eric W. Weisstein, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

 

L’equazione x2 = 2x ha tre soluzioni reali: x = 2, x = 4 e Soluzione reale dell'equazione, che si può anche esprimere come Soluzione reale dell'equazione. S. Pollack dimostrò nel 1998 che la terza soluzione è trascendente.

Bibliografia

  • Zwillinger, Daniel;  CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, CRC Press, 30th edition, 1996.

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