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Radice n-esima

Analisi  Funzioni 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Radice quadrata
  3. 3. Radice cubica

L’estrazione di radice quadrata è l’operazione inversa dell’elevamento al quadrato; comunemente la radice quadrata di x si indica come Radice quadrata di x, omettendo l’indice 2.

 

La radice quadrata è probabilmente la più antica funzione non banale che sia stata esaminata: tabelle di approssimazioni di radici quadrate per i primi interi si trovano in tavolette babilonesi (datate tra il 1800 a.C. e il 1600 a.C.) e nel papiro di Rhind (datato intorno al 1650 a.C.).

 

Nel campo complesso la radice quadrata può essere calcolata come Formula per il calcolo della radice quadrata di x + i * y, per x e y reali e y diverso da zero.

 

Alcuni valori:

Radice quadrata di –1;

Radice quadrata di 0;

Radice quadrata di 1;

Radice quadrata di i;

Radice quadrata di –i.

 

La radice quadrata di 2 è la costante di Pitagora; la radice quadrata di 3 è la costante di Teodoro (I).

 

Alcune formule che coinvolgono la radice quadrata:

Radice quadrata di –z, per Im(z) < 0 o Im(z) = 0 e Re(z) > 0;

Radice quadrata di –z, per Im(z) > 0 o Im(z) = 0 e Re(z) < 0;

Radice quadrata del coniugato di z;

Formula per il calcolo di |sqrt(x + i * y)|, per x e y reali;

Formula per il calcolo di Re(sqrt(x + i * y)), per x e y reali e x diverso da 0;

Formula per il calcolo di Im(sqrt(x + i * y)), per x e y reali e x diverso da 0;

Formula che coinvolge la radice quadrata;

Formula che coinvolge la radice quadrata;

Formula che coinvolge la radice quadrata;

Formula che coinvolge la radice quadrata;

Formula per il calcolo della radice quadrata di z, per |1 – z| < 1;

Formula per il calcolo della radice quadrata di 1 + z, per z non reale negativo;

Formula per il calcolo della radice quadrata di 1 + z, dove R(n) è in numero di 1 nella rappresentazione di n in base 2;

Formula per il calcolo della radice quadrata di 1 + z;

Formula per il calcolo del reciproco della radice quadrata di 1 + z;

Formula per il calcolo della radice quadrata di a^2 + x, per |x| ≤ a2 e in particolare Formula per il calcolo della radice quadrata di 1 + x, per |x| ≤ 1;

Formula per la derivata n-esima della radice quadrata di x e in particolare Formula per la derivata prima della radice quadrata di x e Formula per la derivata seconda della radice quadrata di x;

Integrale indefinito della radice quadrata di x e in particolare Integrale da 0 a 1 della radice quadrata di x;

Integrale indefinito di sqrt(x) * log(x) e in particolare Integrale da 0 a 1 di sqrt(x) * log(x);

Integrale da –1 a 1 di x^(2 * n) / sqrt(1 – x^2) e in particolare Integrale da –1 a 1 di x^2 / sqrt(1 – x^2) e Integrale da –1 a 1 di x^4 / sqrt(1 – x^2);

Integrale da –1 a 1 di x^(2 * n + 1) / sqrt(1 – x^2).

 

Ottime approssimazioni razionali delle radici quadrate possono essere ottenute troncando le frazioni continue a esse legate:

  • Sviluppo della radice quadrata di x in frazione continua, per x > 0;

  • Sviluppo della radice quadrata di x + 1 in frazione continua, per x ≥ –1;

  • Sviluppo della radice quadrata di x + 1 in frazione continua, per x ≥ –1;

  • Sviluppo della radice quadrata di a^2 + b in frazione continua, per a2 + 4b ≥ 0;

  • Sviluppo di (a + sqrt(a^2 + 4 * b)) / 2 in frazione continua, per a > 0 e a2 + b ≥ 0.

Altre frazioni continue possono essere ricavate come casi particolari di quelle per le radici n-esime.

 

Per le radici quadrate di vari numeri espresse come frazioni continue v. frazioni continue; in particolare sotto quella voce si trovano ottime approssimazioni delle radici quadrate degli interi da 1 a 100.

 

Alcune equazioni differenziali (nelle soluzioni c1 e c2sono costanti da determinare):

  • la soluzione dell’equazione differenziale 2xf’(x) = f(x) è c1 * sqrt(x);
  • la soluzione dell’equazione differenziale 4x2f”(x) = –f(x) è c1 * sqrt(x) + c2 * log(x) * sqrt(x);
  • la soluzione dell’equazione differenziale f'(x) – g'(x) / (2 * g(x)) * f(x) = 0 è c1 * sqrt(g(x));
  • la soluzione dell’equazione differenziale f'(x) – (g'(x) / (2 * g(x)) + h'(x) / h(x)) * f(x) = 0 è c1 * h(x) * sqrt(g(x)).

 

L’iterazione del metodo di Newton per il calcolo della radice quadrata di x è Iterazione del metodo di Newton per il calcolo della radice quadrata di x. In particolare, se si inizia con x0 = 1, si può calcolare l’errore commesso arrestando l’iterazione dopo n passi, perché Formula per il calcolo di x(n). La convergenza è quadratica, ossia il numero di cifre corrette raddoppia a ogni iterazione.

Il metodo fu descritto per la prima volta da Erone di Alessandria (Alessandria, Egitto, circa 10 a.C. – Alessandria, Egitto, 70 a.C.)

 

Una altro algoritmo a convergenza quadratica per calcolare la radice quadrata di x, per 0 < x < 3, si basa sulla ricorrenza a0 = x, c0 = x – 1, Formula per a(n + 1), Formula per c(n + 1); an converge a Radice quadrata di x. Il vantaggio è che il calcolo richiede solo divisioni per 2 e per 4 e ciò risulta particolarmente vantaggioso su alcune macchine, che sono relativamente lente ad eseguire una divisione per interi diversi dalle potenze di 2. Infatti, il metodo fu sviluppato intorno al 1950 da M.V. Wilkes, D.J. Wheeler e S. Gill, per EDSAC, uno dei primi calcolatori elettronici.

 

Un ottimo algoritmo per il calcolo della radice quadrata di x è l’algoritmo di Bhaskara – Brouncker, basato sulla ricorrenza a0 = b0 = 1, an = an – 1 + bn – 1x, bn = an – 1 + bn – 1a(n) / b(n) tende a Radice quadrata di x e Formula per |a(n) / b(n) – sqrt(x)|, per 1 ≤ x ≤ 2. L’algoritmo è conveniente solo se 1 ≤ x ≤ 2.

 

Un algoritmo particolarmente semplice, soprattutto se si lavora in base 2, anche se meno efficiente come numero di iterazioni necessarie, a parità di precisione, è l’iterazione di Wolfram: per calcolare la radice quadrata di x con 1 ≤ x < 4 si inizia con u0 = x, v0 = 0 e si calcola:

  • un + 1 = 4(unvn – 1) e vn + 1 = 2vn + 4, se unvn + 1;

  • vn + 1 = 4un e vn + 1 = 2vn, se unvn.

v(n) / 2^(n + 1) tende a Radice quadrata di x. Se 1 ≤ x < 4, i valori di vn sono le cifre della rappresentazione binaria di Radice quadrata di x.

 

Esistono varie ricorrenze che danno convergenze quadratiche, cioè che raddoppiano il numero di cifre corrette a ogni iterazione, quindi sono nettamente più efficienti, con solo un leggero aumento della complessità dei singoli passi. Per esempio, se a0 = b0 = 1, Ricorrenza per il calcolo della radice quadrata di x, Ricorrenza per il calcolo della radice quadrata di x, allora Limite per n tendente a infinito di a(n) / b(n) uguale alla radice quadrata di x.

Vi sono alcune ricorrenze che permettono di approssimare rapidamente Reciproco della radice quadrata di x:

  • Ricorrenza per il calcolo della radice quadrata di x; calcolando simultaneamente la ricorrenza y0 = x0x, yn + 1 = ynxn + 1, yn tende a Radice quadrata di x e si ottengono contemporaneamente la radice quadrata di x e il suo reciproco (metodo noto come “algoritmo di Goldschmidt”);

  • Ricorrenza per il calcolo della radice quadrata di x, che deriva da formule più generali pubblicate da Halston Scott Householder (Rockford, USA, 5/5/1904 – Malibu, USA, 4/7/1993) nel 1970.

Per utilizzare questi metodi bisogna però che x0 sia relativamente vicino a Reciproco della radice quadrata di x, altrimenti le ricorrenze non convergono.

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