Si chiamano “trimorfi” i numeri naturali che si ripetono come cifre finali del loro cubo. Per esempio, 25 è trimorfo, perché 253 = 15625 termina con 25.
A parte i casi banali 0 e 1, trimorfi in ogni base, un numero naturale n < b (rappresentabile con una singola cifra in base b) è trimorfo in base b se b divide n3 – n = n2(n – 1); pertanto ogni numero naturale n è trimorfo come minimo nella basi n2 e n2(n – 1). Per esempio, 3 è trimorfo in base 9 e 18.
I numeri trimorfi di k cifre terminano con un numero trimorfo di k – 1 cifre, quindi se non ne esistono di una cifra, non ne esiste nessuno.
In particolare in ogni base b sono trimorfi i numeri formati da sequenze di cifre b – 1 (per esempio, le sequenze di 9 in base 10) e questi sono gli unici numeri trimorfi (a parte i già citati casi banali) in basi b che siano numeri primi dispari o potenze di numeri primi dispari.
Tutti i numeri automorfi in base b sono anche trimorfi nella stessa base, ma vi sono anche numeri trimorfi, ma non automorfi, come 4 in base 10.
Da ogni numero trimorfo di k cifre se ne ottiene almeno uno di k + 1 cifre, ma talvolta anche due, anteponendo una cifra opportuna. La cifra aggiunta può però essere 0, quindi i numeri che terminano con quelle cifre sembrano “sparire” dall’elenco, ma riappariranno con qualche cifra in più. Per esempio, in base 10 l’unica cifra che si può anteporre a 625 è 0, ma la sequenza dei numeri terminanti in 625 riprende con 90625.
E’ semplice costruire numeri trimorfi enormi, allungando queste sequenze.
In ogni base b vi sono almeno 2m sequenze di questo tipo di numeri automorfi, due delle quali banali (formate da 1 preceduto da zeri o da sequenze di cifre b – 1), dove m è il numero di fattori primi distinti di b. In ogni base vi sono quindi almeno altrettante sequenze di numeri trimorfi.
Alcune proprietà:
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in base 2 sono trimorfi tutti e soli i numeri della forma 2n ± 1;
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in base 10 se n è trimorfo, lo è anche 10r – n, dove r è il numero di cifre di n;
-
in base 10 se n è automorfo, n – 1 è trimorfo;
-
in qualsiasi base b sono trimorfi tutti i numeri della forma bn – 1.
La tabella riporta i numeri trimorfi maggiori di 1 e inferiori a 109 nelle basi fino a 20.
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Base |
Numeri trimorfi |
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2 |
112 = 3, 1012 = 5, 1112 = 7, 10012 = 9, 11112 = 15, 100012 = 17, 111112 = 31, 1000012 = 33, 1111112 = 63, 10000012 = 65, 11111112 = 127, 100000012 = 129, 111111112 = 255, 1000000012 = 257, 1111111112 = 511, 10000000012 = 513, 11111111112 = 1023, 100000000012 = 1025, 111111111112 = 2047, 1000000000012 = 2049, 1111111111112 = 4095, 10000000000012 = 4097, 11111111111112 = 8191, 100000000000012 = 8193, 111111111111112 = 16383, 1000000000000012 = 16385, 1111111111111112 = 32767, 10000000000000012 = 32769, 11111111111111112 = 65535, 100000000000000012 = 65537, 111111111111111112 = 131071, 1000000000000000012 = 131073, 1111111111111111112 = 262143, 10000000000000000012 = 262145, 11111111111111111112 = 524287, 100000000000000000012 = 524289, 111111111111111111112 = 1048575, 1000000000000000000012 = 1048577, 1111111111111111111112 = 2097151, 10000000000000000000012 = 2097153, 11111111111111111111112 = 4194303, 100000000000000000000012 = 4194305, 111111111111111111111112 = 8388607, 1000000000000000000000012 = 8388609, 1111111111111111111111112 = 16777215, 10000000000000000000000012 = 16777217, 11111111111111111111111112 = 33554431, 100000000000000000000000012 = 33554433, 111111111111111111111111112 = 67108863, 1000000000000000000000000012 = 134217727, 1111111111111111111111111112 = 67108863, 10000000000000000000000000012 = 134217729, 11111111111111111111111111112 = 268435455, 100000000000000000000000000012 = 268435457, 111111111111111111111111111112 = 536870911, 1000000000000000000000000000012 = 536870913 |
|
3 |
2, 223 = 8, 2223 = 26, 22223 = 80, 222223 = 242, 2222223 = 728, 22222223 = 2186, 222222223 = 6560, 2222222223 = 19682, 22222222223 = 59048, 222222222223 = 177146, 2222222222223 = 531440, 2222222222223 = 1594322, 222222222222223 = 4782968, 2222222222222223 = 14348906, 22222222222222223 = 43046720, 222222222222222223 = 129140162, 2222222222222222223 = 387420488 |
|
4 |
3, 134 = 7, 214 = 9, 332 = 15, 1334 = 31, 2014 = 33, 3334 = 63, 13334 = 127, 20014 = 129, 33334 = 255, 133334 = 511, 200014 = 513, 333334 = 1023, 1333334 = 2047, 2000014 = 2049, 3333334 = 4095, 13333334 = 8191, 20000014 = 8193, 33333334 = 16383, 133333334 = 32767, 200000014 = 32769, 333333334 = 65535, 1333333334 = 131071, 2000000014 = 131073, 3333333334 = 262143, 13333333334 = 524287, 20000000014 = 524289, 33333333334 = 1048575, 133333333334 = 2097151, 200000000014 = 2097153, 333333333334 = 4194303, 1333333333334 = 8388607, 2000000000014 = 8388609, 3333333333334 = 16777215, 13333333333334 = 33554431, 20000000000014 = 33554433, 33333333333334 = 67108863, 133333333333334 = 134217727, 200000000000014 = 134217729, 333333333333334 = 268435455, 1333333333333334 = 536870911, 2000000000000014 = 536870913 |
|
5 |
4, 445 = 24, 4445 = 124, 44445 = 624, 444445 = 3124, 4444445 = 15624, 44444445 = 78124, 444444445 = 390624, 4444444445 = 1953124, 44444444445 = 9765624, 444444444445 = 48828124, 4444444444445 = 244140624 |
|
6 |
2, 3, 4, 5, 126 = 8, 136 = 9, 256 = 17, 196 = 31, 436 = 27, 446 = 28, 556 = 35, 1256 = 53, 1316 = 55, 2126 = 80, 2136 = 81, 2556 = 107, 3016 = 109, 3436 = 135, 3446 = 136, 4256 = 161, 4316 = 163, 5136 = 189, 5556 = 215, 21316 = 487, 23436 = 567, 25556 = 647, 30016 = 649, 32136 = 729, 34256 = 809, 51316 = 1135, 53436 = 1215, 53446 = 1216, 55556 = 1295, 104256 = 1457, 151316 = 2431, 202136 = 2673, 255556 = 3887, 300016 = 3889, 353436 = 5103, 404256 = 5345, 451316 = 6319, 502126 = 6560, 502136 = 6561, 555556 = 7775, 1151316 = 10207, 1404256 = 13121, 2053436 = 16767, 2053446 = 16768, 2555556 = 23327, 3000016 = 23329, 3502126 = 29888, 3502136 = 29889, 4151316 = 33535, 4404256 = 36449, 5053436 = 40095, 5555556 = 46655, 12053436 = 63423, 13502126 = 76544, 13502136 = 76545, 24151316 = 126847, 25555556 = 139967, 30000016 = 139969, 31404256 = 153089, 42053436 = 203391, 42053446 = 203392, 43502136 = 216513, 54151316 = 266815, 55555556 = 279935, 124151316 = 406783, 31404256 = 433025, 213502126 = 636416, 213502136 = 636417, 255555556 = 839807, 300000016 = 839809, 342053436 = 1043199, 342053446 = 1043200, 424151316 = 1246591, 431404256 = 1272833, 513502136 = 1476225, 555555556 = 1679615, 1124151316 = 2086399, 1431404256 = 2952449, 2213502126 = 3995648, 2213502136 = 3995649, 2555555556 = 5038847, 3000000016 = 5038849, 3342053436 = 6082047, 3342053446 = 6082048, 4124151316 = 7125247, 4431404256 = 7991297, 5213502136 = 9034497, 5555555556 = 10077695, 11124151316 = 12164095, 14431404256 = 18068993, 22213502126 = 24151040, 22213502136 = 24151041, 25555555556 = 30233087, 30000000016 = 30233089, 33342053436 = 36315135, 33342053446 = 36315136, 41124151316 = 42397183, 44431404256 = 48302081, 2213502136 = 54384129, 55555555556 = 60466175, 111124151316 = 72630271, 144431404256 = 108768257, 222213502136 = 145083393, 255555555556 = 181398527, 300000000016 = 181398529, 333342053446 = 217713663, 411124151316 = 254028799, 444431404256 = 290166785, 522213502126 = 326481920, 522213502136 = 326481921, 555555555556 = 362797055, 1033342053436 = 399112191, 1522213502126 = 689278976, 1522213502136 = 689278977, 2111124151316 = 798224383 |
|
7 |
6, 667 = 48, 6667 = 342, 66667 = 2400, 666667 = 16806, 6666667 = 117648, 66666667 = 823542, 666666667 = 5764800, 6666666667 = 40353606, 66666666667 = 282475248 |
|
8 |
3, 5, 7, 378 = 31, 418 = 33, 778 = 63, 3778 = 255, 4018 = 257, 7778 = 511, 37778 = 2048, 40018 = 2049, 77778 = 4095, 377778 = 16383, 400018 = 16385, 777778 = 32767, 3777778 = 131071, 4000018 = 131073, 7777778 = 262143, 37777778 = 1048575, 40000018 = 1048577, 77777778 = 2097151, 377777778 = 8388607, 400000018 = 8388609, 777777778 = 16777215, 3777777778 = 67108863, 4000000018 = 67108865, 7777777778 = 134217727, 37777777778 = 536870911, 40000000018 = 536870913 |
|
9 |
8, 889 = 80, 8889 = 728, 88889 = 6560, 888889 = 59048, 8888889 = 531440, 88888889 = 4782968, 888888889 = 43046720, 8888888889 = 387420488 |
|
10 |
4, 5, 6, 9, 24, 25, 49, 51, 75, 76, 99, 125, 249, 251, 375, 376, 499, 501, 624, 625, 749, 751, 875, 999, 1249, 3751, 4375, 4999, 5001, 5625, 6249, 8751, 9375, 9376, 9999, 18751, 31249, 40625, 49999, 50001, 59375, 68751, 81249, 90624, 90625, 99999, 109375, 109376, 218751, 281249, 390625, 499999, 500001, 609375, 718751, 781249, 890624, 890625, 999999, 2109375, 2890624, 2890625, 4218751, 4999999, 5000001, 5781249, 7109375, 7109376, 7890625, 9218751, 9999999, 12890624, 12890625, 24218751, 25781249, 37109375, 49999999, 50000001, 62890625, 74218751, 75781249, 87109375, 87109376, 99999999, 212890624, 212890625, 287109375, 425781249, 499999999, 500000001, 574218751, 712890625, 787109375, 787109376, 925781249, 999999999 |
|
11 |
A11 = 10, AA11 = 120, AAA11 = 1330, AAAA11 = 14640, AAAAA11 = 161050, AAAAAA11 = 1771560, AAAAAAA11 = 19487170, AAAAAAAA11 = 214358880 |
|
12 |
3, 4, 5, 7, 8, 9, B12 = 11, 1512 = 17, 4712 = 55, 5312 = 63, 5412 = 64, 5B12 = 71, 5D12 = 73, 6812 = 80, 6912 = 81, 7512 = 89, A712 = 127, B312 = 135, BB12 = 143, 11512 = 161, 25312 = 351, 36812 = 512, 36912 = 513, 4A712 = 703, 5BB12 = 863, 60112 = 865, 71512 = 1025, 85312 = 1215, 85412 = 1216, 96912 = 1377, AA712 = 1567, BBB12 = 1727, 14A712 = 2431, 236912 = 3969, 385312 = 6399, 385412 = 6400, 471512 = 7937, 5BBB12 = 10367, 600112 = 10369, 74A712 = 12799, 836812 = 14336, 836912 = 14337, 985312 = 16767, A71512 = 18305, BBBB12 = 20735, 1471512 = 28673, 474A712 = 95743, 5385312 = 110079, 5BBBB12 = 124415, 6000112 = 124417, 6836912 = 138753, 7471512 = 153089, A74A712 = 220159, B385312 = 234495, B385412 = 234496, BBBBB12 = 248831, 1B385312 = 483327, 1B385412 = 483328, 21471512 = 526337, 3A74A712 = 966655, 40836912 = 1009665, 5BBBBB12 = 1492991, 60000112 = 1492993, 7B385412 = 1976319, 81471512 = 2019329, 9A74A712 = 2459647, A0836812 = 2502656, A0836912 = 2502657, BBBBBB12 = 2985983, 581471512 = 16949249, 5A0836812 = 17432576, 5A0836912 = 17432577, 5BBBBBB12 = 17915903, 600000112 = 17915905, 61B385312 = 18399231, 61B385412 = 18399232, 63A74A712 = 18882559, B81471512 = 34865153, BA0836912 = 35348481, BBBBBBB12 = 35831807, 503A74A712 = 180125695, 561B385312 = 197558271, 5BBBBBBB12 = 214990847, 6000000112 = 214990849, 65A0836912 = 232423425, 6B81471512 = 249856001, B03A74A712 = 395116543, B61B385312 = 412549119, B61B385412 = 412549120, BBBBBBBB12 = 429981695, 1B61B385312 = 842530815, 1B61B385412 = 842530816, 20B81471512 = 894828545 |
|
13 |
C13 = 12, CC13 = 168, CCC13 = 2196, CCCC13 = 28560, CCCCC13 = 371292, CCCCCC13 = 4826808, CCCCCCC13 = 62748516, CCCCCCCC13 = 815730720 |
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14 |
6, 7, 8, D14 = 13, 3614 = 48, 3714 = 49, 6D14 = 97, 6F14 = 99, A714 = 147, A814 = 148, DD14 = 195, 1A714 = 343, 1A814 = 344, 36D14 = 685, 37114 = 687, 53714 = 1029, 6DD14 = 1371, 70114 = 1373, 8A714 = 1715, A6D14 = 2057, A7114 = 2059, C3614 = 2400, C3714 = 2401, DDD14 = 2743, 1A6D14 = 4801, 537114 = 14407, 61A714 = 16807, 6DDD14 = 19207, 700114 = 19209, 7C3714 = 21609, 8A6D14 = 24009, C37114 = 33615, D1A714 = 36015, D1A814 = 36016, DDDD14 = 38415, 30C3714 = 117649, 3D1A714 = 151263, 3D1A814 = 151264, 61A6D14 = 235297, 6DDDD14 = 268911, 7000114 = 268913, 7C37114 = 302527, A0C3614 = 386560, A0C3714 = 386561, AD1A714 = 420175, D1A6D14 = 504209, DDDDD14 = 537823, 33D1A714 = 1764735, 33D1A814 = 1764736, 3A0C3714 = 2000033, 67C37114 = 3529471, 6DDDDD14 = 3764767, 70000114 = 3764769, 761A6D14 = 4000065, A3D1A714 = 5529503, AA0C3614 = 5764800, AA0C3714 = 5764801, D7C37114 = 7294239, DDDDDD14 = 7529535, 1761A6D14 = 11529601, 567C37114 = 41177151, 633D1A714 = 46941951, 633D1A814 = 46941952, 6DDDDDD14 = 52706751, 700000114 = 52706753, 7AA0C3614 = 58471552, 7AA0C3714 = 58471553, 8761A6D14 = 64236353, C67C37114 = 93883903, D33D1A714 = 99648703, DDDDDDD14 = 105413503, 3633D1A714 = 363182463, 37AA0C3614 = 374712064, 37AA0C3714 = 374712065, 6C67C37114 = 726364927, 6DDDDDD14 = 737894527, 700000114 = 737894529, 71761A6D14 = 749424129 |
|
15 |
4, 5, 6, 9, A15 = 10, B15 = 11, E15 = 14, 1B15 = 26, 6915 = 99, 6A15 = 100, 8515 = 125, 8615 = 126, D415 = 199, EE15 = 224, 46915 = 999, 46A15 = 1000, 61B15 = 1376, 8D415 = 1999, A8515 = 2375, A8615 = 2376, EEE15 = 3374, 146915 = 4374, 146A15 = 4375, 28D415 = 8749, C61B15 = 41876, DA8515 = 46250, DA8615 = 46251, EEEE15 = 50624, 3146915 = 156249, 3146A15 = 156250, 628D415 = 312499, 8C61B15 = 446876, BDA8515 = 603125, BDA8615 = 603126, EEEEE15 = 759374, 4BDA8515 = 3640625, 4BDA8615 = 3640626, 5628D415 = 4109374, 98C61B15 = 7281251, A3146915 = 7749999, A3146A15 = 7750000, EEEEEE15 = 11390624, 1A3146915 = 19140624, 1A3146A15 = 19140625, 35628D415 = 38281249, B98C61B15 = 132578126, D4BDA8515 = 151718750, D4BDA8615 = 151718751, EEEEEEE15 = 170859374, 4D4BDA8515 = 835156250, 4D4BDA8615 = 835156251, 535628D415 = 892578124 |
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16 |
7, 9, F16 = 15, 7F16 = 127, 8116 = 129, FF16 = 255, 7FF16 = 2047, 80116 = 2049, FFF16 = 4096, 7FFF16 = 32767, 800116 = 32769, FFFF16 = 65535, 7FFFF16 = 524287, 8000116 = 524289, FFFFF16 = 1048575, 7FFFFF16 = 8388607, 80000116 = 8388609, FFFFFF16 = 16777215, 7FFFFFF16 = 134217727, 800000116 = 134217729, FFFFFFF16 = 268435455 |
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17 |
G17 = 16, GG17 = 288, GGG17 = 4912, GGGG17 = 83520, GGGGG17 = 1419856, GGGGGG17 = 24137568, GGGGGGG17 = 410338672 |
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18 |
8, 9, A18 = 10, H18 = 17, 4818 = 80, 4918 = 81, 8H18 = 161, 9118 = 163, D918 = 243, DA18 = 244, HH18 = 323, 24818 = 728, 24918 = 729, 48H18 = 1457, 49118 = 1459, 6D918 = 2187, 8HH18 = 2915, 90118 = 2917, B4918 = 3645, D8H18 = 4373, D9118 = 4375, FD918 = 5103, FDA18 = 5104, HHH18 = 5831, 124818 = 6560, 124918 = 6561, 248H18 = 13121, 6D9118 = 39367, 7FD918 = 45927, 8HHH18 = 52487, 900118 = 52489, A24918 = 59049, B48H18 = 65609, FD9118 = 91855, GFD918 = 98419, GFDA18 = 98416, HHHH18 = 104975, 248H18 = 118097, 3GFD918 = 413343, 3GFDA18 = 413344, 5124918 = 531441, 7FD9118 = 826687, 8HHHH18 = 944783, 9000118 = 944785, A248H18 = 1062881, CGFD918 = 1358127, E124818 = 1476224, E124918 = 1476225, GFD9118 = 1771471, HHHHH18 = 1889567, 43GFD918 = 7971615, 4E124818 = 9034496, 4E124918 = 9034497, 87FD9118 = 15943231, 8HHHHH18 = 17006111, 90000118 = 17006113, 9A248H18 = 18068993, D3GFD918 = 24977727, D3GFDA18 = 24977728, DE124918 = 26040609, H7FD9118 = 32949343, HHHHHH18 = 34012223, 14E124918 = 43046721, 29A248H18 = 86093441, 687FD9118 = 220016575, 7D3GFD918 = 263063295, 7D3GFDA18 = 263063296, 8HHHHHH18 = 306110015, 900000118 = 306110017, A4E124818 = 349156736, A4E124918 = 349156737, B9A248H18 = 392203457, F87FD9118 = 526126591, GD3GFD918 = 569173311, HHHHHHH18 = 612220031 |
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19 |
I19 = 18, II19 = 360, III19 = 6858, IIII19 = 130320, IIIII19 = 2476098, IIIIII19 = 47045880, IIIIIII19 = 893871738 |
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20 |
4, 5, 9, B20 = 11, F20 = 15, G20 = 16, J20 = 19, 1520 = 25, 2920 = 49, 7B20 = 151, 8F20 = 175, 8G20 =176, 9J20 = 199, A120 = 201, B420 = 224, B520 = 225, C920 = 249, HB20 = 351, IF20 = 375, JJ20 = 399, 32920 = 1249, 38F20 = 1375, 6B420 = 2624, 6B520 = 2625, 6HB20 = 2751, 9JJ20 = 3999, A0120 = 4001, D2920 = 5249, D8F20 = 5375, D8G20 = 5376, GB520 = 6625, GHB20 = 6751, JJJ20 = 7999, 16B520 = 10625, 2D2920 = 21249, 76HB20 = 58751, 8D8F20 = 69375, 8D8G20 = 69376, 9JJJ20 = 79999, A00120 = 80001, B6B420 = 90624, B6B520 = 90625, CD2920 = 101249, H6HB20 = 138751, ID8F20 = 149375, JJJJ20 = 159999, 12D2920 = 181249, 8H6HB20 = 1418751, 98D8F20 = 1509375, 98D8G20 = 1509376, 9JJJJ20 = 1599999, A000120 = 1600001, AB6B420 = 1690624, AB6B520 = 1690625, B2D2920 = 1781249, IH6HB20 = 3018751, J8D8F20 = 3109375, JJJJJ20 = 3199999, 1AB6B420 = 4890624, 1AB6B520 = 4890625, 312D2920 = 9781249, 6IH6HB20 = 22218751, 898D8F20 = 27109375, 9JJJJJ20 = 31999999, A0000120 = 32000001, BAB6B520 = 36890625, D12D2920 = 41781249, GIH6HB20 = 54218751, I98D8F20 = 59109375, I98D8G20 = 59109376, JJJJJJ20 = 63999999, 21AB6B420 = 132890624, 21AB6B5420 = 132890625, 4312D2920 = 265781249, 5GIH6HB20 = 374218751, 7I98D8F20 = 507109375, 9JJJJJJ20 = 639999999, A00000120 = 640000001, C1AB6B520 = 772890625, E312D2920 = 905781249 |