Stirling associati di prima specie (numeri di)

Matematica combinatoria 

Il numero di Stirling associato di prima specie, generalmente indicato come  o come s_r(n, k), è il numero di modi in cui n oggetti possono essere suddivisi tra k cicli di almeno r oggetti ciascuno.

 

Per r = 1 si hanno i numeri di Stirling di prima specie.

 

Per esempio , e 5 oggetti possono essere suddivisi tra esattamente 2 cicli di almeno 2 oggetti ciascuno in 20 modi differenti:

• { { 1, 3, 2 }, { 4, 5 } };

• { { 1, 2, 3 }, { 4, 5 } };

• { { 1, 2, 4 }, { 3, 5 } };

• { { 1, 4, 4 }, { 3, 5 } };

• { { 1, 2, 5 }, { 3, 4 } };

• { { 1, 5, 2 }, { 3, 4 } };

• { { 1, 3, 4 }, { 2, 5 } };

• { { 1, 4, 3 }, { 2, 5 } };

• { { 1, 3, 5 }, { 2, 4 } };

• { { 1, 5, 3 }, { 2, 4 } };

• { { 1, 4, 5 }, { 2, 3 } };

• { { 1, 5, 4 }, { 2, 3 } };

• { { 1, 2 }, { 3, 4, 5 } };

• { { 1, 2 }, { 3, 5, 4 } };

• { { 1, 3 }, { 2, 4, 5 } };

• { { 1, 3 }, { 2, 5, 4 } };

• { { 1, 4 }, { 2, 3, 5 } };

• { { 1, 4 }, { 2, 5, 3 } };

• { { 1, 5 }, { 2, 4, 5 } };

• { { 1, 5 }, { 2, 5, 5 } }.

 

Alcune formule che coinvolgono i numeri di Stirling associati di prima specie:

;

, per k > 0;

, per n > 0;

, per n ≥ r;

, per 0 ≤ n < kr;

, per n ≥ kr;

;

, per n > 0;

, per n > 0;

;

;

;

 (C. Jordan, 1933);

;

, dove b_n è un numero di Bernoulli di seconda specie (F.T. Howard, 1980);

 (Feng-Zheng Zhao, 2008);

, dove b_n è un numero di Bernoulli di seconda specie (Feng-Zheng Zhao, 2008);

, per p primo e k > 1.

 

La funzione generatrice esponenziale è .

Tabelle numeriche

I numeri di Stirling associati di prima specie s_r(n,k), per r fino a 10 e n fino a 20.

Vedi anche

Numeri di Stirling associati di seconda specie, Numeri di Stirling di prima specie.

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