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Goldbach (congettura di)

Congetture  Teoria dei numeri 

La congettura di Goldbach è probabilmente il più famoso problema non risolto (o solo parzialmente risolto) della teoria dei numeri. E’ comunemente attribuita a Goldbach, anche se Cartesio aveva avanzato la stessa ipotesi.

 

Christian Goldbach (18/3/1690 – 20/11/1764) notò che poteva esprimere ogni numero naturale maggiore di 5 come somma di 3 numeri primi e lo comunicò a Eulero in una lettera del 7/6/1742, che segnò la nascita di uno dei più grandi problemi della matematica. Il grande matematico rispose il 30 dello stesso mese, osservando che quanto notato da Goldbach derivava dal poter esprimere ogni numero pari maggiore di 2 come somma di due numeri primi, fatto che gli sembrava vero, ma che non poteva dimostrare.

Ai tempi si usava considerare 1 come primo, mentre oggi non è considerato primo e questo spiega perché il limite inferiore dei numeri rappresentabili sia cambiato: per Goldbach 3 poteva essere rappresentato come 1 + 1 + 1 (e nella missiva si leggono chiaramente vari esempi del genere), quindi nella lettera scrisse in realtà “ogni numero maggiore di 2”, ma per evitare complicazioni la sua congettura è generalmente riportata nella forma (storicamente inesatta) che ho esposto.

 

La congettura si può scindere in due parti distinte: quella relativamente più facile, chiamata “debole”, “ternaria” o anche “congettura di Waring”, e sulla quale sono stati fatti più progressi è che ogni numero dispari sia la somma di tre primi, mentre la seconda parte, più difficile, chiamata “forte” o “binaria”, è che ogni numero pari sia la somma di due numeri primi. Chiaramente la prima parte sarebbe conseguenza della seconda.

 

Alla congettura sono state date varie formulazioni equivalenti; per la prima parte:

  • ogni intero dispari maggiore di 5 è la somma di tre primi;

  • ogni intero dispari maggiore di 7 è la somma di tre primi dispari;

  • ogni intero dispari maggiore di 17 è la somma di tre primi distinti.

Per la seconda parte si trovano le seguenti formulazioni:

  • ogni intero pari maggiore di 3 può essere espresso come somma di 2 numeri primi;

  • ogni intero pari maggiore di 5 può essere espresso come somma di 2 numeri primi dispari;

  • ogni intero pari maggiore di 6 è la somma di due primi distinti;

  • ogni numero naturale pari può essere rappresentato come φ(p) + φ(q), con p e q primi.

L’ultima versione ha il vantaggio di eliminare la limitazione “maggiore di…”, ma rende meno elegante (e per molti meno comprensibile) la congettura.

 

Una versione più originale si deve a Sebastian Martin Ruiz: per ogni intero n maggiore di 3 esiste un intero k maggiore di zero e minore di n tale che φ(n2k2) = (n – 1)2k2. Non è del tutto immediato rendersi conto che questa versione è solo una formulazione equivalente alla versione che asserisce che ogni intero pari maggiore di 6 è la somma di due primi distinti. La spiegazione è la seguente: φ(n2k2) ≤ φ(n + k)φ(nk) ≤ (n + k + 1)(nk – 1), ma (n – 1)2k2 = (n + k + 1)(nk – 1) quindi φ(n2k2) = (n + k + 1)(nk – 1) e l’uguaglianza è possibile se e solo se n + k e nk sono primi e quindi (n + k) + (nk) = 2n è esprimibile come somma di due primi distinti.

 

Nel 1959 il matematico polacco Andrzej Bobola Maria Schinzel dimostrò che la versione forte è equivalente all’affermazione che ogni intero pari maggiore di 17 è la somma di al massimo 3 primi distinti.

 

La congettura forte è stata verificata fino a limiti via via maggiori, man mano che miglioravano gli strumenti di calcolo. Iniziò Cantor, verificandola manualmente per gli interi sino a 1000, poi Haussner arrivò a 1000, Nils Pipping nel 1938, a 100000; J. Richstein nel 1998 a 4 • 1014 e Tomás Oliveira e Silva nel 2005 a 3 • 1017 e nel 2012 a 4 • 1017.

 

Per due secoli sembrò che il problema fosse inattaccabile, finché nel 1923 Hardy e Littlewood dimostrarono che, supponendo vera una certa forma dell’ipotesi di Riemann, ogni numero dispari abbastanza grande può essere espresso come somma di 3 numeri primi.

La dimostrazione segnò l’inizio di una serie di attacchi alla congettura, basati sul ridurre il numero di addendi necessari, possibilmente senza far ricorso a ipotesi non dimostrate.

 

Nel 1929 T. Estermann, J.G. van der Corput e Chudakov dimostrarono che il rapporto tra i numeri pari minori di n non rappresentabili come somma di due numeri primi e n tende a zero al tendere di n all’infinito, quindi in un certo senso “quasi tutti” i numeri pari sono rappresentabili, tuttavia la dimostrazione non esclude l’esistenza di un numero infinito di eccezioni.

 

Nel 1931 il giovane matematico russo Schnirelman (1905 – 1938) dimostrò che ogni numero pari può essere espresso come somma di al massimo 800000 primi. Il numero era enormemente superiore a quello ipotizzato da Goldbach, ma rappresentò un primo fondamentale passo, senza alcun ricorso a ipotesi non dimostrate.

 

I.M. Vinogradov riuscì nel 1937 a dimostrare, indipendentemente da congetture non provate, che ogni numero dispari abbastanza grande può essere espresso come somma di 3 numeri primi e quindi che ogni numero pari superiore può essere espresso come somma di 4 (v. numero di Vinogradov).

 

Questo permetteva, almeno in teoria, di dimostrare la prima parte della congettura, determinando quali numeri siano “abbastanza grandi” ed esaminando, con l’aiuto di calcolatori, tutti quelli inferiori.

Nel 1956 Borodzkin dimostrò che nella dimostrazione di Vinogradov 3315 = 314348907 ≈ 3.25 • 106864168 è “abbastanza grande”, poi Chen e Wang ridussero il limite a ee11.503 ≈ 3.3334 • 1043000 nel 1989, quindi a 107194 e infine nel 2002 a 101346.

Zinoviev dimostrò che, supponendo vera l’ipotesi di Riemann generalizzata, il limite può essere ridotto a 1020 e finalmente, sempre supponendo vera la stessa ipotesi, J.-M. Deshouillers, G. Effinger, H. Te Riele e D. Zinoviev nel 1997 combinarono il teorema di Zinoviev con una verifica mediante calcolatori, dimostrando che la congettura debole di Goldbach discende da un’altra, che tutti ritengono vera.

 

Essendo la prova incompleta, questo non ha rallentato gli sforzi di arrivare a una dimostrazione indipendente da ipotesi non ancora provate e nel 2013 il matematico peruviano Harald Andrés Helfgott riuscì finalmente a dare una dimostrazione completa della versione debole della congettura.

Dato che questa era la versione riportata nella lettera, possiamo finalmente dire che la congettura “di Goldbach” è stata dimostrata vera: dopotutto non è colpa del matematico tedesco se Eulero decise di mettere in difficoltà i matematici, modificandola in una versione più forte.

 

Per quanto riguarda i numeri pari, il miglior risultato valido per tutti gli interi indipendentemente da altre congetture restò a lungo quello di Ramaré, che dimostrò nel 1955 che ogni numero pari maggiore di 2 è la somma di al massimo 6 numeri primi.

La dimostrazione di Helfgott ci assicura che 4 primi bastano, ma tutti ritengono che ne bastino 2.

 

Un metodo d’attacco alternativo per la versione forte della congettura fu quello di tenere uguale a 2 il numero di addendi, cercando però di ridurre il numero minimo di fattori primi degli stessi, nella speranza di ridurli a uno, ossia di dimostrare che possono essere primi.

Il pioniere di questo metodo fu V. Brun, che nel 1919 dimostrò che ogni numero pari sufficientemente grande può essere espresso come somma di due numeri, ciascuno prodotto di al massimo 9 fattori primi.

 

Nel 1950 Rademacher, Estermann, Ricci, Buchstab e Aelberg ridussero il numero di fattori dei due addendi a 2 e 3.

 

Il miglior risultato in questo senso si deve a Chen Jingrun, che nel 1973 dimostrò che ogni numero pari n abbastanza grande può essere espresso come somma di un numero primo e di un primo o semiprimo in almeno n / log(n)^2 modi diversi.

Alcune semplici modifiche permisero di dimostrare che si può prendere un primo maggiore di n / 2 e il semiprimo è multiplo di due primi maggiori di n^(1 / 10). Nel 2002 Ying Chun Cai dimostrò che per n abbastanza grande il primo può essere preso maggiore di n0.95.

Nel 2015 Tomohiro Yamada stabiliì il primo limite inferiore per “abbastanza grande”, dimostrando che ogni numero pari maggiore di ee36 ≈ 1.7 • 101872344071119348 può essere espresso come somma di un numero primo e di un primo o semiprimo.

 

Un ulteriore metodo d’attacco, meno utilizzato, ma che ha prodotto risultati interessanti, fu introdotto da Y.V. Linnik, che nel 1951 dimostrò nel 1951 che ogni numero pari abbastanza grande si può esprimere come somma di due primi dispari e un numero limitato di potenze di 2 (v. numeri di de Polignac); il numero di tali potenze è stato prima fissato a 13 da Roger Heath-Brown e Jan-Christoph Schlage-Puchta nel 2002, poi ridotto a 8 (J. Pintz e I.Z. Rusza, 2003) e, supponendo vera una versione generale della congettura di Riemann, a 7 (D.R. Heath-Brown e J.C. Puchta, 2002).

Dimostrando che è possibile ridurlo a zero si dimostrerebbe la congettura di Godlbach.

 

Dato che le possibilità di combinazioni con (poche) potenze di due inferiori a n crescono come una potenza di logn, questo sembra un’importante indicazione che la congettura di Goldbach sia vera.

 

Il numero di rappresentazioni di un intero pari come somma di due numeri primi è stato oggetto di studi; aumenta lentamente, seppur irregolarmente, all’aumentare del numero:

  • gli unici interi noti rappresentabili in un solo modo sono 4, 6, 8 e 12;

  • non si conosce intero maggiore di 632 rappresentabile in meno di 10 modi;

  • non si conosce intero maggiore di 1448 rappresentabile in meno di 20 modi.

 

Hardy e Littlewood arrivarono a supporre che il numero di rappresentazioni di 2n come somma di due primi tenda a Limite asintotico ipotizzato per numero di rappresentazioni di 2n come somma di due primi, che asintoticamente equivale a Limite asintotico ipotizzato per numero di rappresentazioni di 2n come somma di due primi, dove il prodotto va calcolato sui primi dispari che dividono n e C2 è la costante dei primi gemelli (v. congetture di Hardy e Littlewood sui numeri primi).

 

Aumentando il numero di rappresentazioni, viene naturale supporre che si possano imporre ulteriori condizioni sulla dimensione degli addendi.

R. Knjzek propose una versione ancora più forte della congettura di Goldbach, vale a dire che ogni numero pari maggiore di 4 può essere espresso come somma di due numeri primi, uno dei quali compreso tra Radice quadrata di n e n / 2, ossia suppose che nella somma si possa fare a meno dei primi più piccoli.

Nella direzione opposta è stata proposta la congettura che esista sempre una soluzione con uno dei primi non superiore a Klog2n loglogn, per un’opportuna costante K. In effetti Richstein trovò soluzioni per gli interi sino a 1014 senza che il minore dei due primi superasse 5569 e a oggi in nessun caso noto il minimo dei due primi deve essere maggiore di 9341.

 

Una congettura analoga alla congettura di Goldbach è stata avanzata anche per i primi gemelli (v. congettura di Wagler) e per i primi di Gauss.

 

Curiosamente, il problema è stato risolto nel caso apparentemente più complicato dei polinomi: D.R. Hayes dimostrò nel 1965 che ogni polinomio in una variabile può essere espresso come somma di due polinomi irriducibili dello stesso grado.

Nel 2015 Tomohiro Yamada dimostrò ogni numero pari maggiore di

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