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Hardy e Littlewood sui numeri primi (congetture di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Congettura A
  3. 3. Congettura B
  4. 4. Congettura C
  5. 5. Congettura D
  6. 6. Congettura E
  7. 7. Congettura F
  8. 8. Congettura G
  9. 9. Congettura H
  10. 10. Congettura I
  11. 11. Congettura J
  12. 12. Congettura K
  13. 13. Congettura L
  14. 14. Congettura M
  15. 15. Congettura N
  16. 16. Congettura P

Dati tre interi a, b e c, tali che:

  • il loro massimo divisore comune sia 1,

  • b2 – 4ac non sia un quadrato,

  • a + b e c non siano entrambi pari,

allora esistono infiniti primi della forma am2 + bm + c e il numero di tali primi minori di n tende a Limite asintotico cui tende il numero di primi della forma am^2 + bm + c minori di n, dove Simbolo di Legendre (b^2 – 4ac | p) è il simbolo di Legendre.

La stima si può esprimere come Limite asintotico cui tende il numero di primi della forma am^2 + bm + c minori di n; sono stati calcolati i valori di H per alcuni polinomi, alla ricerca di polinomi che generino molti primi:

  • nel caso di m2 + m + 75 H vale circa 0.1554883400 (Henry Cohen);

  • nel caso di m2 + m + 41 H vale circa 1.6598865887 (Henry Cohen);

  • nel caso di m2 + m – 13598858514212472187 H vale circa 5.3670819 (Michael J. Jacobson Jr., 1995);

  • nel caso di m2 + m – 33251810980696878103150085257129508857312847751498190349983874538507313 H vale circa 5.65726388 (Michael J. Jacobson Jr. e Hugh C. Williams, 2003).

 

La congettura è un caso particolare della congettura di Bunyakovsky, con una stima del numero di primi, che implica la congettura E come caso particolare.

Bibliografia

  • Hardy, Godfrey Harold;  Littlewood, John Edensor;  "On some problems of ‘partitio numerorum’ III: On the expression of a number as a sum of primes" in Acta Mathematica, n. 44, pag. 1 – 70.

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