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Hardy e Littlewood sui numeri primi (congetture di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Congettura A
  3. 3. Congettura B
  4. 4. Congettura C
  5. 5. Congettura D
  6. 6. Congettura E
  7. 7. Congettura F
  8. 8. Congettura G
  9. 9. Congettura H
  10. 10. Congettura I
  11. 11. Congettura J
  12. 12. Congettura K
  13. 13. Congettura L
  14. 14. Congettura M
  15. 15. Congettura N
  16. 16. Congettura P

Ogni numero naturale abbastanza grande è un quadrato o si può esprimere come somma di un primo e un quadrato.

 

Il numero di rappresentazioni del genere di n tende asintoticamente a Limite asintotico cui tende il numero di rappresentazioni degli interi come somma di un primo e un quadrato, dove Simbolo di Legendre (n | p) è il simbolo di Legendre.

 

E’ un caso particolare della congettura G, corrispondente al caso a = 1, b = 0.

 

Bisogna accettare 0 al posto del primo o escludere i quadrati dai numeri esprimibili, perché altrimenti ci sono infinite eccezioni: se n2 = k2 + p, p = (nk)(n + k) e se p è primo, allora nk deve essere 1 e p = n + k = 2n – 1, quindi se 2n – 1 è composto, n2 non può essere la somma di un quadrato e un primo.

 

Le eccezioni note sono: 2, 5, 10, 13, 31, 34, 37, 58, 61, 85, 91, 127, 130, 214, 226, 370, 379, 439, 526, 571, 706, 730, 771, 829, 991, 1255, 1351, 1414, 1549, 1906, 2986, 3319, 3676, 7549, 9634, 21679. Gli esperti ritengono che siano in numero finito ed è possibile che non ce ne siano altre; se esistono, sono maggiori di 3 • 109 (John Robertson), limite portato a 1011 da Giovanni Resta nel 2019.

Hongze Li dimostrò nel 2003 che il numero di eccezioni minori di n cresce al massimo come n0.982.

 

Se si accetta zero come quadrato, le eccezioni sono solo: 10, 34, 58, 85, 91, 130, 214, 226, 370, 526, 706, 730, 771, 1255, 1351, 1414, 1906, 2986, 3676, 9634, 21679.

 

H. Davenport e H. Heilbronn dimostrarono nel 1936 che:

  • fissato n, quasi tutti i numeri naturali sono rappresentabili come p + mn, con p primo;
  • fissato n dispari, quasi tutti i numeri naturali sono rappresentabili come p + mn o 2p + mn, con p primo della forma 4k + 1 e di conseguenza per ogni n dispari quasi tutti i numeri naturali sono rappresentabili come x2 + y2 + zn.

 

Una generalizzazione, che resta sempre un caso particolare della congettura G, è che per ogni a che non sia un quadrato, tutti i numeri naturali abbastanza grandi e primi rispetto ad a possano essere rappresentati come p + ax2 con p primo e x intero.

Bibliografia

  • Hardy, Godfrey Harold;  Littlewood, John Edensor;  "On some problems of ‘partitio numerorum’ III: On the expression of a number as a sum of primes" in Acta Mathematica, n. 44, pag. 1 – 70.

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