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Hardy e Littlewood sui numeri primi (congetture di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Congettura A
  3. 3. Congettura B
  4. 4. Congettura C
  5. 5. Congettura D
  6. 6. Congettura E
  7. 7. Congettura F
  8. 8. Congettura G
  9. 9. Congettura H
  10. 10. Congettura I
  11. 11. Congettura J
  12. 12. Congettura K
  13. 13. Congettura L
  14. 14. Congettura M
  15. 15. Congettura N
  16. 16. Congettura P

Ogni numero dispari abbastanza grande si può esprimere come somma di un primo e del doppio di un quadrato non nullo.

 

E’ un caso particolare della congettura G, corrispondente al caso a = 2, b = 0.

 

La congettura fu avanzata da Moritz Abraham Stern (Francoforte, 29/6/1807 – Zurigo, 30/1/1894) nel 1856 ed è comunemente attribuita al matematico tedesco, ma già Goldbach in una lettera a Eulero del 18/11/1752 aveva suggerito che ogni numero dispari potesse essere rappresentato come somma di un primo e del doppio di un quadrato, anche nullo, non accorgendosi delle eccezioni 5777 e 5993 (Goldbach considerava primo 1). Eulero aveva risposto il 16/12/1752 d’aver verificato la congettura sino a 1000 e il 3/4/1753 d'aver esteso la verifica sino a 2500, senza trovare eccezioni, osservando che per i numeri dispari le rappresentazioni di questo genere tendono a crescere all’aumentare del numero e che quindi i numeri dispari non rappresentabili in questo modo potrebbero essere in numero finito.

 

Hardy e Littlewood aggiunsero la stima del numero di rappresentazioni del genere di n, che secondo la loro congettura tende asintoticamente a Limite asintotico cui tende il numero di rappresentazioni di n come somma di un primo e del doppio di un quadrato, dove Simbolo di Legendre (2 * n | p) è il simbolo di Legendre.

 

Stern e i suoi studenti verificarono i numeri sino a 9000 e trovarono 11 eccezioni: 1, 2, 3, 17, 137, 227, 977, 1187, 1493, 5777 e 5993 (v. numeri di Stern), le uniche a tutt’oggi note, nonostante le ricerche siano state estese sino a 2 • 1013 (Benjamin Chaffin, 2008). Ai tempi di Stern 1 era comunemente considerato primo, quindi la sua lista non includeva 3, perché 3 = 1 + 2 • 12; a parte questa trascurabile modifica, la lista di Stern è rimasta invariata da allora.

Solo gli ultimi due numeri sono composti.

 

Secondo la congettura di Hardy e Littlewood il numero di rappresentazioni tende a infinito e quindi per ogni valore di n vi deve essere un numero finito di interi non rappresentabili in più di n modi come somma di un primo e del doppio di un quadrato non nullo.

La tabella seguente mostra i massimi numeri dispari noti rappresentabili come p + 2k2 con p primo e k non nullo in non più di n modi (Judson S. McCranie e Donovan Johnson, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org).

n

Massimo intero noto rappresentabile in non più di n modi

0

5993

1

6797

2

59117

3

59117

4

87677

5

148397

6

148397

7

268157

8

285863

9

361127

10

597473

11

597473

12

597473

13

809057

14

809057

15

944567

16

1281473

17

1281473

18

1417697

19

2148827

20

2148827

21

2419337

22

2550137

23

2550137

24

2571263

25

2571263

26

2884823

27

2931167

28

3383837

29

3601067

30

3756407

 

Bibliografia

  • Hardy, Godfrey Harold;  Littlewood, John Edensor;  "On some problems of ‘partitio numerorum’ III: On the expression of a number as a sum of primes" in Acta Mathematica, n. 44, pag. 1 – 70.

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