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Hardy e Littlewood sui numeri primi (congetture di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Congettura A
  3. 3. Congettura B
  4. 4. Congettura C
  5. 5. Congettura D
  6. 6. Congettura E
  7. 7. Congettura F
  8. 8. Congettura G
  9. 9. Congettura H
  10. 10. Congettura I
  11. 11. Congettura J
  12. 12. Congettura K
  13. 13. Congettura L
  14. 14. Congettura M
  15. 15. Congettura N
  16. 16. Congettura P

Per ogni k che non sia un cubo, esistono infiniti valori di m tali che m3 + k sia primo (v. costanti di Bateman) e il numero di tali primi minori di n tende a Limite asintotico cui tende il numero di primi della forma m^3 + k minori di n, dove f(k, p) vale 2, se –k è un residuo cubico modulo p, (ossia esiste almeno un intero m tale che m3pk mod p), –1 altrimenti.

Si tratta di un caso particolare della congettura di Bunyakovsky, con una stima del numero di primi.

 

La congettura implica come caso particolare l’esistenza, per ogni k > 0, di infiniti valori di n e m tali che n3 + m3 + k sia primo: basta prendere un qualsiasi n tale che k’ = n3 + k non sia un cubo e la congettura ci assicura l’esistenza di infiniti primi della forma m3 + k’, come asserisce la congettura M, che però offre anche una stima asintotica del numero di tali primi.

In modo analogo la congettura implica anche l’esistenza di infiniti primi uguali alla somma di tre cubi, come asserisce la congettura N, che però offre anche una stima asintotica del numero di tali primi.

Bibliografia

  • Hardy, Godfrey Harold;  Littlewood, John Edensor;  "On some problems of ‘partitio numerorum’ III: On the expression of a number as a sum of primes" in Acta Mathematica, n. 44, pag. 1 – 70.

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