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Hardy e Littlewood sui numeri primi (congetture di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Congettura A
  3. 3. Congettura B
  4. 4. Congettura C
  5. 5. Congettura D
  6. 6. Congettura E
  7. 7. Congettura F
  8. 8. Congettura G
  9. 9. Congettura H
  10. 10. Congettura I
  11. 11. Congettura J
  12. 12. Congettura K
  13. 13. Congettura L
  14. 14. Congettura M
  15. 15. Congettura N
  16. 16. Congettura P

Ogni numero naturale abbastanza grande è un cubo o si può esprimere come somma di un primo e un cubo.

 

Il numero di rappresentazioni del genere di n tende asintoticamente a Limite asintotico cui tende il numero di rappresentazioni di n come somma di un primo e un cubo, dove dove f(k, p) vale 2, se k è un residuo cubico modulo p, (ossia esiste almeno un intero m tale che m3k mod p), –1 altrimenti.

 

Le eccezioni inferiori a 100 sono: 2, 5, 7, 9, 16, 17, 22, 23, 26, 28, 33, 35, 36, 41, 43, 47, 52, 53, 57, 59, 63, 65, 73, 76, 78, 82, 85, 89, 92, 96, 99.

Si conoscono 7050 eccezioni, la massima delle quali è 78526384, che trovate qui. (Giovanni Resta, The Online Encyclopedia of Integer Sequences http://oeis.org). Se ce ne sono altre, sono maggiori di 4 • 109.

Se si accetta zero come cubo, le eccezioni scendono a 6195, che trovate qui.

 

I numeri non rappresentabili come somma di un primo, eventualmente nullo, e una potenza qualsiasi, ma non nulla, sono solo 2, 5 e 1549.

Questi numeri sono primi, quindi qualsiasi numero può essere rappresentato come somma di un primo, eventualmente nullo, e una potenza, eventualmente nulla.

L’unico caso noto in cui serva un primo nullo è 1771561 = 116.

 

Bibliografia

  • Hardy, Godfrey Harold;  Littlewood, John Edensor;  "On some problems of ‘partitio numerorum’ III: On the expression of a number as a sum of primes" in Acta Mathematica, n. 44, pag. 1 – 70.

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