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Hardy e Littlewood sui numeri primi (congetture di)

Congetture  Teoria dei numeri 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Congettura A
  3. 3. Congettura B
  4. 4. Congettura C
  5. 5. Congettura D
  6. 6. Congettura E
  7. 7. Congettura F
  8. 8. Congettura G
  9. 9. Congettura H
  10. 10. Congettura I
  11. 11. Congettura J
  12. 12. Congettura K
  13. 13. Congettura L
  14. 14. Congettura M
  15. 15. Congettura N
  16. 16. Congettura P

Esistono infiniti primi uguali alla somma di tre cubi positivi e il numero di tali primi minori di n tende a Limite asintotico cui tende il numero primi minori di n uguali alla somma di tre cubi, dove A(p) si calcola come segue: si rappresenta p come prodotto di due elementi primi α e α’ del campo ciclotomico delle radici cubiche dell’unità, quindi se α = a + bω con a e b interi, a ≡ 2 mod 3 e b ≡ 0 mod 3, A(p) = 2a + b.

 

La congettura K implica l’esistenza di infiniti primi del genere (prendendo k uguale alla somma di due cubi qualsiasi); la congettura N offre però una stima asintotica del numero di tali cubi.

 

Il minimo primo che possa essere espresso come somma di tre cubi è 2 = 13 + 13 + 03.

Il minimo primo che possa essere espresso come somma di tre cubi non nulli è 3 = 13 + 13 + 13.

Il minimo primo che possa essere espresso come somma di tre cubi diversi è 73 = 43 + 23 + 13.

Il minimo primo che possa essere espresso come somma di tre cubi in due modi diversi è 251 = 53 + 53 + 13 = 63 + 33 + 23.

 

La tabella seguente riporta i primi inferiori a 1000 esprimibili come somma di tre cubi positivi.

2 = 13 + 13 + 03

3 = 13 + 13 + 13

17 = 23 + 23 + 13

29 = 33 + 13 + 13

43 = 33 + 23 + 23

73 = 43 + 23 + 13

127 = 53 + 13 + 13

179 = 53 + 33 + 33

197 = 53 + 43 + 23

251 = 53 + 53 + 13 = 63 + 33 + 23

277 = 53 + 53 + 33

281 = 63 + 43 + 13

307 = 63 + 43 + 33

349 = 63 + 53 + 23

359 = 73 + 23 + 23

397 = 73 + 33 + 33

433 = 63 + 63 + 13

521 = 83 + 23 + 13

547 = 83 + 33 + 23

557 = 63 + 63 + 53

577 = 83 + 43 + 13

593 = 73 + 53 + 53

701 = 83 + 53 + 43

757 = 93 + 33 + 13

811 = 73 + 73 + 53

853 = 83 + 63 + 53

857 = 93 + 43 + 43

863 = 83 + 73 + 23

881 = 93 + 53 + 33

919 = 83 + 73 + 43

953 = 93 + 63 + 23

 

D.R Heath-Brown dimostrò nel 2001 l’esistenza di infiniti primi della forma n3 + 2m3 e quindi che la congettura, almeno per quanto riguarda l’esistenza di infiniti primi uguali alla somma di 3 cubi, è vera (v. primi uguali a somme di potenze).

Bibliografia

  • Hardy, Godfrey Harold;  Littlewood, John Edensor;  "On some problems of ‘partitio numerorum’ III: On the expression of a number as a sum of primes" in Acta Mathematica, n. 44, pag. 1 – 70.

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