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Stirling di seconda specie (numeri di)

Matematica combinatoria 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule
  3. 3. Valori

Alcuni valori particolari:

Numeri di Stirling di prima e seconda specie s(0, 0) e S(0, 0);

Numero di Stirling di seconda specie S(0, k), per k > 0;

Numeri di Stirling di prima e seconda specie s(n, 0) e S(n, 0) per n > 0;

Numero di Stirling di seconda specie S(n, 1), per n > 0;

Numero di Stirling di seconda specie S(n, 2), per n > 1;

Numero di Stirling di seconda specie S(n, 3), per n > 2;

Numero di Stirling di seconda specie S(n, 4), per n > 3;

Numero di Stirling di seconda specie S(n, 5), per n > 4;

Numeri di Stirling di prima e seconda specie s(n, n – 1) e S(n, n – 1), per n > 1;

Numeri di Stirling di prima e seconda specie s(n, n) e S(n, n);

Numeri di Stirling di prima e seconda specie s(n, m) e S(n, m), se m > n.

 

Alcune approssimazioni:

Approssimazione per il numero di Stirling di seconda specie S(n, k), per k fissato e n abbastanza grande;

Approssimazione per il numero di Stirling di seconda specie S(n, k), dove s è la soluzione maggiore di 0 dell’equazione Equazione per la definizione di s, ossia Formula per la definizione di s;

Approssimazione per il numero di Stirling di seconda specie S(n, k);

Approssimazione per il numero di Stirling di seconda specie S(m + n, m), valida se n è piccolo rispetto a Radice quadrata di m.

 

Alcune disuguaglianze:

se n > 2, allora Disuguaglianza soddisfatta dai numeri di Stirling di seconda specie (B.C. Rennie e A.J. Dobson, 1968);

se n > 2 e (n – 2) * S(2 * n – 3, n – 1) > n * S(2 * n – 3, n), allora Disuguaglianza soddisfatta dai numeri di Stirling di seconda specie (B.C. Rennie e A.J. Dobson, 1968);

se n > 3 e (n + 1) / 2 ≤ k ≤ n – 1, allora Disuguaglianza soddisfatta dai numeri di Stirling di seconda specie (B.C. Rennie e A.J. Dobson, 1968);

se n > 3 e 2 ≤ k ≤ n / 2, allora Disuguaglianza soddisfatta dai numeri di Stirling di seconda specie (B.C. Rennie e A.J. Dobson, 1968);

Disuguaglianza soddisfatta dai numeri di Stirling di seconda specie (B.C. Rennie e A.J. Dobson, 1968);

Disuguaglianza soddisfatta dai numeri di Stirling di seconda specie, per n < k.

 

Alcune proprietà riguardanti la parità:

Numero di Stirling di seconda specie S(n, 2) è dispari;

Numero di Stirling di seconda specie S(n, 3) ha la stessa parità di n;

Numero di Stirling di seconda specie S(n, 4) ha parità inversa rispetto a n;

Numero di Stirling di seconda specie S(n, k) ha la stessa parità di Coeficiente binomiale con la stessa parità del numero di Stirling di seconda specie S(n, k);

Esiste un curioso modo di determinare la parità dei numeri di Stirling di seconda specie: se l’and bit a bit della rappresentazione binaria di nkMassimo intero non superiore a (n – 1) / 2 è zero, Numero di Stirling di seconda specie S(n, k) è dispari, altrimenti è pari.

 

La funzione generatrice dei numeri di Stirling di seconda specie è Funzione generatrice dei numeri di Stirling di seconda specie.

e .

Le funzioni generatrici esponenziali sono: Funzione generatrice esponenziale dei numeri di Stirling di seconda specieFunzione generatrice esponenziale dei numeri di Stirling di seconda specieFunzione generatrice dei numeri di Stirling di seconda specie; la funzione generatrice esponenziale bivariata è Funzione generatrice esponenziale bivariata dei numeri di Stirling di seconda specie.

 

Le tabelle seguenti mostrano i numeri di Stirling di seconda specie Numero di Stirling di seconda specie S(n, k), per n fino a 20.

n \ k

1

2

3

4

5

1

1

 

 

 

 

2

1

1

 

 

 

3

1

3

1

 

 

4

1

7

6

1

 

5

1

15

25

10

1

6

1

31

90

65

15

7

1

63

301

350

140

8

1

127

966

1701

1050

9

1

255

3025

7770

6951

10

1

511

9330

34105

42525

11

1

1023

28501

145750

246730

12

1

2047

86526

611501

1379400

13

1

4095

261625

2532530

7508501

14

1

8191

788970

10391745

40075035

15

1

16383

2375101

42355950

210766920

16

1

32767

7141686

171798901

1096190550

17

1

65535

21457825

694337290

5652751651

18

1

131071

64439010

2798806985

28958095545

19

1

262143

193448101

11259666950

147589284710

20

1

524287

580606446

45232115901

749206090500

n \ k

6

7

8

9

10

6

1

1

 

 

 

7

21

1

 

 

 

8

266

28

1

 

 

9

2646

462

36

1

 

10

22827

5880

750

45

1

11

179487

63987

11880

1155

55

12

1323652

627396

159027

22275

1705

13

9321312

5715424

1899612

359502

39325

14

63436373

49329280

20912320

5135130

752752

15

420693273

408741333

216627840

67128490

12662650

16

2734926558

3281882604

2141764053

820784250

193754990

17

17505749898

25708104786

20415995028

9528822303

2758334150

18

110687251039

197462483400

189036065010

106175395755

37112163803

19

693081601779

1492924634839

1709751003480

1144614626805

477297033785

20

4306078895384

11143554045652

15170932662679

12011282644725

5917584964655

n \ k

 

 

13

14

15

11

1

 

 

 

 

12

66

1

 

 

 

13

2431

78

1

 

 

14

66066

3367

91

1

 

15

1479478

106470

4550

105

1

16

28936908

2757118

165620

6020

120

17

512060978

62022324

4910178

249900

7820

18

8391004908

1256328866

125854638

8408778

367200

19

129413217791

23466951300

2892439160

243577530

13916778

20

1900842429486

411016633391

61068660380

6302524580

452329200

n \ k

16

17

18

19

20

16

1

 

 

 

 

17

136

1

 

 

 

18

9996

153

1

 

 

19

527136

12597

171

1

 

20

22350954

741285

15675

190

1

 

All’aumentare di kNumero di Stirling di seconda specie S(n, k) aumenta, raggiungendo il massimo (unico per n > 2) per un valore di k tale che n / log(n) < k < n / (log(n) – log(log(n))), k, poi diminuisce.

 

Per n abbastanza grande, il valore di k che rende massimo Numero di Stirling di seconda specie S(n, k) è Massimo intero non superiore a x o Minimo intero non inferiore a x, ossia uno dei due interi vicini a x, dove x è la soluzione dell’equazione x * (x + 2) * log(x + 2) / (x + 1) = n.

 

Limite per n tendente a infinito di S(n, k) / k^n = 1 / k!n.

Bibliografia

  • Stanley, Richard P.;  Enumerative Combinatorics, Cambridge University Press, vol. I, 1997.

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