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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule per il calcolo della funzione
  3. 3. Serie
  4. 4. Prodotti
  5. 5. Integrali indefiniti
  6. 6. Integrali definiti
  7. 7. Altre formule
  8. 8. Valori

La funzione sin(x) è la funzione seno.

 

Il nome risale al 1140, quando Robert di Chester usò il termine sinus nel tradurre l’opera di Abu Jafar Muhammad ibn-Musa al-Khwarizmi (Khwarezm, Uzbekistan, 780 – Baghdad, 850).

L’abbreviazione sin comparve invece nel 1624, ad opera di Edmund Gunter (Hertfordshile, UK, 1581 – Londra, 10/12/1626).

 

Tra le più antiche tavole di funzioni trigonometriche va ricordato l’Amagesto, di Claudio Tolomeo (Egitto, circa 100 – Alessandria, Egitto, circa 170), che contiene i valori del seno da 0 a 90° a passi di 15 minuti d’arco. Contiene anche il teorema dei seni e le formule di addizione e sottrazione. L’opera è rimasta in uso corrente fino alla fine del Rinascimento.

 

La funzione nasce nella trigonometria, con una definizione assolutamente geometrica, come mostra la figura seguente.

 

Definizione geometrica della funzione seno

 

In un cerchio di raggio unitario, il seno dell’angolo α (misurato in radianti) è la lunghezza del segmento AB, misurata secondo il verso dell’asse y, quindi negativa se il punto A si trova al di sotto dell’asse x.

 

Dalla definizione segue immediatamente che la funzione è dispari, periodica con periodo 2π, si annulla quando l’argomento è nπ, ha il massimo uguale a 1 quando l’argomento è (2 * n + 1 / 2) * π e il minimo uguale a –1 quando l’argomento è (2 * n + 3 / 2) * π.

 

La figura seguente mostra una parte del grafico della funzione.

 

Grafico della funzione seno

 

 

I valori della funzione sono trascendenti per argomenti algebrici diversi da 0, sono algebrici se l’argomento ha la forma m / n * π con m e n interi e si possono esprimere come combinazione finita delle quattro operazioni e dell’estrazione di radice quadrata se e solo se n è il prodotto di una potenza di 2 (incluso 1) e di primi di Fermat distinti (anche nessuno).

 

La definizione può essere estesa all’intero piano complesso tramite la formula sin(z) = i * (e^(–i * z) – e^(i * z)) / 2, ovvero sin(x + iy) = sinxcoshy + icosxsinhy.

 

In un triangolo nel quale a, b e c sono le lunghezze dei lati, l’angolo α è opposto al lato a, l’angolo β è opposto al lato b e l’angolo γ è opposto al lato c, r è il raggio del cerchio inscritto, R quello del cerchio circoscritto e Aè l’area, valgono le formule:

  • sin(α) / a = sin(β) / b = sin(γ) / c (legge dei seni);
  • sin(α) * sin(β) * sin(γ) = A / (2 *R^2);
  • sin(α / 2) * sin(β / 2) * sin(γ / 2) = r / (4 *R);
  • sin(α) = 2 * A / (b * c).

 

Tramite la funzione seno si costruisce la funzione di Weierstrass – Riemann Esempio di funzione continua ovunque, ma non derivabile in alcun punto, classico esempio di funzione continua ovunque, ma non derivabile in alcun punto.

Bibliografia

  • Pickover, Clifford A.;  Il liβro della mαtematica, Modena, Logos, 2012 -

    Trad. di The Math Book, Sterling Publishing Co., Inc., 2009

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