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Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule per il calcolo della funzione
  3. 3. Serie
  4. 4. Prodotti
  5. 5. Integrali indefiniti
  6. 6. Integrali definiti
  7. 7. Altre formule
  8. 8. Valori

La funzione cos(x) è la funzione coseno.

 

Il nome. Contrazione di “complement sinus”, risale al 1624, ad opera di Edmund Gunter (Hertfordshile, UK, 1581 – Londra, 10/12/1626), che introdurre anche l’abbreviazione Cosi.

 

La funzione nasce nella trigonometria, con una definizione assolutamente geometrica, come mostra la figura seguente.

 

Definizione geometrica della funzione coseno

 

In un cerchio di raggio unitario, il coseno dell’angolo α (misurato in radianti) è la lunghezza del segmento OB, misurata secondo il verso dell’asse x, quindi negativa se il punto A si trova a sinistra dell’asse y.

 

Dalla definizione segue immediatamente che la funzione è pari, periodica con periodo 2π, si annulla quando l’argomento è (n + 1 / 2) * π, ha il massimo uguale a 1 quando l’argomento è 2nπ e il minimo uguale a –1 quando l’argomento è (2n + 1)π.

 

La figura seguente mostra una parte del grafico della funzione.

 

Grafico della funzione coseno

 

 

I valori della funzione sono trascendenti per argomenti algebrici diversi da 0, sono algebrici se l’argomento ha la forma m / n * π con m e n interi e si possono esprimere come combinazione finita delle quattro operazioni e dell’estrazione di radice quadrata se e solo se n è il prodotto di una potenza di 2 (incluso 1) e di primi di Fermat distinti (anche nessuno).

 

La definizione può essere estesa all’intero piano complesso tramite la formula cos(z) = (e^(i * z) + e^(–i * z)) / 2, ovvero cos(x + iy) = cosxcoshy – isinxsinhy.

 

In un triangolo nel quale a, b e c sono le lunghezze dei lati, l’angolo α è opposto al lato a, l’angolo  è opposto al lato b e l’angolo γ è opposto al lato c, r è il raggio del cerchio inscritto e R quello del cerchio circoscritto, valgono le formule:

  • a2 = b2 + c2 – 2bccos α, (legge dei coseni);
  • cos(α) + cos(β) + cos(γ) = 1 + r / R;
  • cos2α + cos2β + cos2γ = 1 – 2 cosαcosβcosγ;
  • 1 < cos(α) + cos(β) + cos(γ) ≤ 3 / 2, dove il valore massimo della somma si raggiunge solo se il triangolo è equilatero.

La legge dei coseni fu pubblicata nel 1427 in Miftah al-hisab (La chiave del calcolo) dal matematico persiano Ghiyāth al-Dīn Jamshīd Mas’ūd al-Kashi (Kashan, Iran, circa 1380– Samarcanda, Uzbekistan, 22/6/1429) e riscoperta indipendentemente da François Viete (Fontenay-le-Comte, Francia, 13/12/1540 – Parigi, 23/2/1603).

 

Tramite la funzione coseno si costruisce la funzione di Dirichlet Funzione che vale 1 se x è razionale, 0 se è irrazionale, che vale 1 se x è razionale, 0 se è irrazionale.

Bibliografia

  • Pickover, Clifford A.;  Il liβro della mαtematica, Modena, Logos, 2012 -

    Trad. di The Math Book, Sterling Publishing Co., Inc., 2009

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