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Trisezione dell’angolo (problema della)

Geometria  Problemi  Vari 

Il problema della trisezione dell’angolo consiste nel dividere un angolo generico in tre parti uguali, utilizzando solo riga e compasso, secondo i canoni della geometria greca.

 

Mentre bisecare un angolo con riga e compasso è semplice, i geometri greci si accorsero che trisecarlo, ossia dividerlo in 3 parti uguali, sembrava difficile.

Il problema non è che un caso particolare del problema della suddivisione di un angolo generico in n parti, per qualsiasi numero naturale n; siccome però era il primo caso insoluto e sembrava più semplice degli altri, su questo si concentrarono gli sforzi per oltre due millenni.

 

Il problema generale si potrebbe risolvere se fosse possibile risolverlo per n primo: per n composto, infatti, basterebbe dividere l’angolo in p parti, dove p è uno dei fattori primi di n, e ripetere la suddivisione per i vari fattori primi. Per esempio, ripetendo la suddivisione in 2 parti, è possibile dividere ogni angolo in 2n parti.

Viceversa, se fosse possibile dividere ogni angolo in n, con n composto, sarebbe possibile dividerlo in qualsiasi numero di parti k che sia un divisore di n: in tal caso, infatti, avremmo n = mk e dividendo l’angolo α in n parti, otterremmo l’angolo α / n = α / (m * k); sommandone m copie, avremmo l’angolo α / k (sommare e sottrarre angoli è un’operazione semplice con riga e compasso).

 

Gli angoli di ampiezza m / n * π, con m e n interi, sono trisecabili, se n non è multiplo di 3, anche se non sono costruibili con riga e compasso, salvo in alcuni casi. Il metodo consiste nel sommarne un certo numero, fino a restare con un numero intero di giri più l’angolo desiderato. Per esempio, per trisecare un angolo di 3 / 7 * π, se ne sommano 5, ottenendo un giro completo più un angolo di π / 7, appunto un terzo di quello iniziale. Il metodo funziona solo perché si sa a priori la misura dell’angolo, che è di una forma particolare.

 

Cartesio osservò che la soluzione di ogni equazione di terzo grado si può ricondurre con riga e compasso alla trisezione dell’angolo o alla duplicazione del cubo; vale a dire che a partire dalla soluzione di uno di questi due problemi, con riga e compasso si può poi costruire la soluzione di qualsiasi equazione di terzo grado e quindi risolvere l’altro.

 

Spetta a Pierre-Laurent Wantzel (Parigi, 5/6/1814 – Parigi, 21/5/1848) il merito d’aver definitivamente risolto il problema, caratterizzando con precisione i numeri costruibili e dimostrando nel 1837 che la trisezione dell’angolo equivale alla soluzione di una generica equazione cubica a coefficienti interi, quindi alla costruzione di numeri algebrici di terzo grado.

Tali numeri sono linearmente indipendenti dai numeri costruibili e nessuna sequenza finita delle quattro operazioni e di estrazioni di radice quadrata può produrli, quindi la trisezione di un angolo generico non è costruibile con riga e compasso.

 

Come per la quadratura del cerchio, esistono varie soluzioni approssimate; una delle più semplici ed eleganti, illustrata nella figura seguente, si deve a Paolo De Ponte.

 

Costruzione di Paolo De Ponte per la trisezione dell’angolo

 

Per trisecare l’angolo AOB si tracciano due circonferenze con centro in O, l’una di raggio doppio dell’altra.

Chiamando A e C le intersezioni della circonferenza esterna con un lato dell’angolo e con la bisettrice dello stesso, si determina il punto P sull’arco AC, in modo che PC sia un quarto di AC. SI congiunge quindi P con Q, intersezione tra la circonferenza interna e il prolungamento della bisettrice, intersecando la stessa circonferenza in un punto K: l’angolo AOK è approssimativamente un terzo di AOB.

L’errore commesso con questa costruzione è veramente minuscolo: la differenza tra un terzo dell’angolo da trisecare α e AOK è dato dalla formula Formula per l'errore della costruzione; la differenza cresce al crescere dell’angolo, ma è appena 0.0001875132 circa nel caso dell’angolo retto e 0.0015147363 circa nel caso dell’angolo piatto; in pratica meno dello spessore del segno della matita in un disegno di normali dimensioni.

 

Il problema può essere risolto trovando l’intersezione di coniche. Una soluzione di questo tipo si deve ad Apollonio di Perga (Perga, Turchia, 262 a.C. – Alessandria, Egitto, 190 a.C.): si traccia una circonferenza con centro nel vertice O dell’angolo e se ne trovano le intersezioni A e B con i lati dell’angolo. Si traccia quindi un ramo dell’iperbole con eccentricità 2 (ovvero tale che la distanza tra ogni punto e il fuoco sia il doppio della distanza tra il punto e la direttrice corrispondente), che ha per direttrice la bisettrice OC dell’angolo e per fuoco una delle due intersezioni, come mostra la figura seguente.

 

Costruzione di Apollonio per la trisezione dell’angolo

 

Il ramo dell’iperbole interseca la circonferenza in P e l’angolo POC è un terzo dell’angolo AOC; raddoppiandolo si trova l’angolo che è un terzo di AOB.

 

Per trisecare un angolo acuto AOB tramite la quadratrice di Ippia (v. problema della quadratura del cerchio), lo si riporta col vertice in O e un lato lungo OB, determinando la sua intersezione C con la squadratrice AB, poi si conduce da C la perpendicolare ad AO, che interseca AO in D e si divide DO in tre parti uguali, come mostra la figura seguente.

 

Trisezione dell’angolo tramite la quadratrice di Ippia

 

Si tracciano quindi dai punti di divisione E e F le parallele a BO, fino a intersecare la trisettrice in G e H. Gli angoli HOB, GOH e COG sono un terzo dell’angolo COB.

Per trisecare angoli maggiori di quello retto si biseca l’angolo, fino a ridurlo a un angolo acuto, si triseca questo e si duplica l’angolo risultante, tante volte quante è stato bisecato l’angolo iniziale

 

Un’altra costruzione famosa si deve ad Archimede: Per trisecare l’angolo AOB, disegnato una parte del primo giro di una spirale con centro in O e tangente iniziale OB, fino a intersecare in C il lato OA dell’angolo, si prende il punto D in modo che Lungezza di OD uguale a un terzo della lunghezza di OC, poi si traccia la circonferenza con centro O e raggio OD, intersecando la spirale in E. L’angolo EOB è un terzo di AOB, come mostra la figura seguente.

 

Trisezione dell’angolo tramite la spirale di Archimede

 

 

Il problema può essere risolto utilizzando varie altre curve, come il limaçon e la concoide di Nicomede, ma la soluzione più originale è tramite l’origami (v. numeri costruibili).

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