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“ABA” (numeri)

Teoria dei numeri  Teoria dei numeri 

Si chiamano “numeri ABA” gli interi della forma aba con a e b interi e maggiori di 1. Per esempio, 324 = 4 • 34 è un numero ABA.

La condizione che a e b siano maggiori di 1 è necessaria, perché altrimenti ogni intero positivo sarebbe un numero ABA, perché n = 1n1 = n1n.

 

I numeri ABA minori di 1000 sono:

8 = 2 • 22,

18 = 2 • 32,

24 = 3 • 23,

32 = 2 • 42,

50 = 2 • 52,

64 = 4 • 24,

72 = 2 • 62,

81 = 3 • 33,

98 = 2 • 72,

128 = 2 • 82,

160 = 5 • 25,

162 = 2 • 92,

192 = 3 • 43,

200 = 2 • 102,

242 = 2 • 112,

288 = 2 • 122,

324 = 4 • 34,

338 = 2 • 132,

375 = 3 • 53,

384 = 6 • 26,

392 = 2 • 142,

450 = 2 • 152,

512 = 2 • 162,

578 = 2 • 172,

648 = 2 • 182 = 3 • 63,

722 = 2 • 192,

800 = 2 • 202,

882 = 2 • 212,

896 = 7 • 27,

968 = 2 • 222.

Qui trovate i numeri ABA minori di 109 (M. Fiorentini, 2017).

 

Il minimo numero ABA in due modi diversi è 648 = 2 • 182 = 3 • 63; il minimo in tre modi diversi è 344373768 = 2 • 131222 = 3 • 4863 = 8 • 98.

 

Esistono infiniti numeri ABA in m modi diversi per qualsiasi valore di m.

Utilizzando differenti sequenze di m numeri primi tra loro si possono produrre infiniti numeri ABA in m modi diversi come Formula per il calcolo di un numero ABA in m modi, dove Formula per il calcolo di a(k); per trovare gli esponenti ek bisogna risolvere i sistemi di congruenze ek ≡ 1 mod pkCongruenza per il calcolo di e(k) per k da 1 a m, vale a dire trovare per ogni k un multiplo di tutti gli altri m – 1 numeri, che dia resto 1 se diviso per pk.

Per esempio, utilizzando i primi 4 numeri primi, 2, 3, 5 e 7, si può costruire un numero ABA in 4 modi diversi; il loro prodotto è 210 e le congruenze sono:

  • e1 ≡ 1 mod 2, e1 ≡ 0 mod 105, che ha per soluzione minima e1 = 105;

  • e2 ≡ 1 mod 3, e2 ≡ 0 mod 70, che ha per soluzione minima e2 = 70;

  • e3 ≡ 1 mod 5, e3 ≡ 0 mod 42, che ha per soluzione minima e3 = 126;

  • e4 ≡ 1 mod 7, e4 ≡ 0 mod 30, che ha per soluzione minima e4 = 120.

Si ottiene in questo modo la soluzione n = 210537051267120 = 2 • (252335563760)2 = 3 • (2353235436740)3 = 5 • (2213145257240)5 = 7 • (215310518717)7.

Come si vede, i numeri ottenuti in questo modo crescono molto rapidamente all’aumentare di m.

 

I numeri ABA in due o più modi diversi minori di 1012 sono (M. Fiorentini, 2017):

648 = 2 • 182= 3 • 63,

2048 = 2 • 322 = 8 • 28,

4608 = 2 • 482 = 9 • 29,

5184 = 3 • 123 = 4 • 64,

41472 = 2 • 1442 = 3 • 243,

52488 = 2 • 1622 = 8 • 38,

472392 = 2 • 4862 = 3 • 543,

500000 = 2 • 5002 = 5 • 105,

524288 = 2 • 5122 = 8 • 48,

2654208 = 2 • 11522 = 3 • 963,

3125000 = 2 • 12502 = 8 • 58,

4718592 = 2 • 15362 = 18 • 218,

10125000 = 2 • 22502 = 3 • 1503,

13436928 = 2 • 25922 = 8 • 68,

21233664 = 3 • 1923 = 4 • 484,

30233088 = 2 • 38882 = 3 • 2163,

46118408 = 2 • 48022 = 8 • 78,

76236552 = 2 • 61742 = 3 • 2943,

134217728 = 2 • 81922 = 8 • 88,

169869312 = 2 • 92162 = 3 • 3843,

344373768 = 2 • 131222 = 3 • 4863 = 8 • 98,

402653184 = 3 • 5123 = 24 • 224,

512000000 = 2 • 160002 = 5 • 405,

648000000 = 2 • 180002 = 3 • 6003,

737894528 = 2 • 192082 = 7 • 147,

800000000 = 2 • 200002 = 8 • 108,

838860800 = 2 • 204802 = 25 • 225,

922640625 = 3 • 6753 = 5 • 455,

1147971528 = 2 • 239582 = 3 • 7263,

1207959552 = 2 • 245762 = 9 • 89,

1714871048 = 2 • 292822 = 8 • 118,

1934917632 = 2 • 311042 = 3 • 8643,

2754990144 = 3 • 9723 = 4 • 1624,

3127772232 = 2 • 395462 = 3 • 10143,

3439853568 = 2 • 414722 = 8 • 128,

4879139328 = 2 • 493922 = 3 • 11763,

6525845768 = 2 • 571222 = 8 • 138,

6973568802 = 18 • 318 = 2 • 590492,

7381125000 = 2 • 607502 = 3 • 13503,

10871635968 = 2 • 737282 = 3 • 15363,

11806312448 = 2 • 768322 = 8 • 148,

15641144712 = 2 • 884342 = 3 • 17343,

20503125000 = 2 • 1012502 = 8 • 158,

22039921152 = 2 • 1049762 = 3 • 19443,

29524500000 = 2 • 1215002 = 5 • 905,

30485730888 = 2 • 1234622 = 3 • 21663,

34359738368 = 2 • 1310722 = 8 • 168,

41472000000 = 2 • 1440002 = 3 • 24003,

55576446408 = 2 • 1666982 = 3 • 26463,

55806059528 = 2 • 1670422 = 8 • 178,

73470177792 = 2 • 1916642 = 3 • 29043,

86973087744 = 3 • 30723 = 4 • 3844,

88159684608 = 2 • 2099522 = 8 • 188,

94450499584 = 4 • 3924 = 7 • 287,

95927256072 = 2 • 2190062 = 3 • 31743,

123834728448 = 2 • 2488322 = 3 • 34563,

135868504328 = 2 • 2606422 = 8 • 198,

137438953472 = 2 • 2621442 = 32 • 232,

158203125000 = 2 • 2812502 = 3 • 37503,

200177422848 = 2 • 3163682 = 3 • 40563,

204800000000 = 2 • 3200002 = 8 • 208,

251048476872 = 2 • 3542942 = 3 • 43743,

302582874888 = 2 • 3889622 = 8 • 218,

312264916992 = 2 • 3951362 = 3 • 47043,

385445512008 = 2 • 4390022 = 3 • 50463,

439006988288 = 2 • 4685122 = 8 • 228,

472392000000 = 2 • 4860002 = 3 • 54003,

524288000000 = 2 • 5120002 = 5 • 1605,

575102385288 = 2 • 5362382 = 3 • 57663,

626487882248 = 2 • 5596822 = 8 • 238,

695784701952 = 2 • 5898242 = 3 • 61443,

836871243912 = 2 • 6468662 = 3 • 65343,

880602513408 = 2 • 6635522 = 8 • 248.

 

La minima terna pitagorica formata da numeri ABA è (98304 = 3 • 323, 131072 = 2 • 2563, 163840 = 5 • 85).

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