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cosh(x)

Analisi  Funzioni 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule per il calcolo della funzione
  3. 3. Serie e prodotti
  4. 4. Integrali indefiniti
  5. 5. Integrali definiti
  6. 6. Altre formule

La funzione cosh(x) è la funzione coseno iperbolico.

 

Il nome si spiega con la sua definizione geometrica; il coseno di α si può definire come la coordinata x dell’intersezione tra una circonferenza di equazione x2 + y2 = 1 e una delle due rette passanti per l’origine che delimitano mezzo settore circolare di area α / 2, l’altra essendo retta delle ascisse (v. funzione coseno). Se si rimpiazza la circonferenza con l’iperbole di equazione x2y2 = 1, si può definire in modo analogo il coseno iperbolico di α come la cordinata x dell’intersezione tra una retta passante per l’origine e l’iperbole, che delimiti insieme con l’iperbole e la retta delle ascisse un’area α / 2, come mostra la figura seguente.

 

Definizione geometrica della funzione coseno iperbolico

 

Se l’area è misurata col quadrato dell’unità di misura lineare adottata, il coseno iperbolico di α è la lunghezza di OB. Facendo tendere a 1 il coefficiente angolare della retta OA, l’area tende all’infinito, quindi la funzione è definita per qualsiasi α positivo. Considerando la parte di iperbole al di sotto della retta delle ascisse, simmetrica rispetto all’asse x (non mostrata nella figura) possiamo estendere la definizione a valori negativi di α, analogamente a come si definiscono le funzioni trigonometriche per angoli negativi.

 

La funzione è pari, non si annulla nel campo reale, ha un minimo uguale a 1 per x = 0 e tende a infinito per x tendente a meno infinito e a infinito.

La figura seguente mostra una parte del grafico della funzione.

 

Grafico della funzione coseno iperbolico

 

 

La definizione analitica cosh(z) = (e^z – e^(–z)) / 2 permette di estendere la definizione all’intero campo complesso; nel campo complesso la funzione si annulla per x = i * (n + 1 / 2), con n intero.

 

I valori della funzione sono trascendenti per argomenti algebrici reali diversi da 0, sono algebrici se l’argomento ha la forma i * m / n * π con m e n interi. In particolare  può essere espresso utilizzando solo le quattro operazioni e l’estrazione di di radice quadrata se m è intero e n è il prodotto di una potenza di 2 (incluso 1) e di primi di Fermat distinti (anche nessuno).

 

Analogamente alla relazione fondamentale tra seno e coseno, sin2x + cos2x = 1, la relazione fondamentale tra seno e coseno iperbolici è cosh2x – sinh2x = 1.

 

Una corda di massa uniforme appesa agli estremi in un campo gravitazionale uniforme si dispone in modo da tracciare una parte del grafico della funzione coseno iperbolico.

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