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x

Funzioni 

La funzione indicata come ⌊x⌋, secondo la notazione proposta da Kenneth Eugene Iverson nel 1962, o talvolta come [x], secondo la notazone introdotta da Gauss nel 1808 (v. notazione matematica), è il massimo intero non superiore a x. Talvolta è chiamata anche “parte intera di x”, ma il termine è improprio perché la parte intera di x coincide con il massimo intero non superiore a x solo per numeri non negativi: ⌊–3.1⌋ = –4, mentre la parte intera di –3.1 è –3.

La funzione è anche chiamata floor(x).

 

La figura seguente mostra parte del grafico della funzione ⌊x⌋.

 

Grafico della funzione massimo intero non superiore a x

 

 

Formalmente si può definire la funzione in questo modo: Formula per la definizione del massimo intero non superiore a x, ovvero ⌊x⌋ = n se e solo se nx < n, con n intero.

La definizione può essere estesa ai numeri complessi tramite la formula ⌊x + iy⌋ =  ⌊x⌋ + i⌊y⌋.

 

Alcune proprietà:

⌊–x⌋ = –⌊x⌋, per x reale;

–⌊x⌋ = ⌈–x⌉, per x reale;

x⌋ = [x], per x reale e x ≥ 0 o x intero;

x⌋ = [x] – 1, per x reale non intero e x < 0;

x⌋ = x – {x}, per x reale e x ≥ 0 o x intero;

x⌋ = x – {x} – 1, per x reale non intero e x < 0;

z⌋ = – ⌈–z⌉;

Formula per una proprietà della funzione massimo intero non superiore

x + iy =  ⌊x⌋ – i⌊y⌋;

Formula per una proprietà della funzione massimo intero non superiore, per x reale e non intero negativo;

⌊⌊z⌋⌋ = ⌊z⌋;

⌊⌈z⌉⌋ = ⌈z⌉;

⌈⌊z⌋⌉ = ⌊z⌋;

x + n⌋ = ⌊x⌋ + n, per n intero;

Formula per una proprietà della funzione massimo intero non superiore

Formula per una proprietà della funzione massimo intero non superiore

z – ⌊z⌋⌋ = 0;

z1 + z2⌋ = ⌊z1⌋ + ⌊z2⌋ + ⌊z1 + z2 – ⌊z1⌋ – ⌊z2⌋⌋

z1z2 = (z1 – ⌊z1⌋)(z1 – ⌊z1⌋) – ⌊z1⌋⌊z2⌋ + z1z2⌋ + ⌊z1z2;

Formula per una proprietà della funzione massimo intero non superiore, per m e n interi e n > 0;

Formula per una proprietà della funzione massimo intero non superiore, per n intero maggiore di 0;

Formula per una proprietà della funzione massimo intero non superiore, per n intero positivo e y diverso da zero;

Formula per una proprietà della funzione massimo intero non superiore, per n intero e 0 < nx;

 

Alcune serie che coinvolgono la funzione:

Serie che coinvolge la funzione massimo intero non superiore, per m e n interi e n > 0;

Serie che coinvolge la funzione massimo intero non superiore, per n intero e maggiore di zero;

Serie che coinvolge la funzione massimo intero non superiore, per y non intero e maggiore di zero;

Serie che coinvolge la funzione massimo intero non superiore, per m e n interi maggiori di zero;

Serie che coinvolge la funzione massimo intero non superiore, per m e n interi maggiori di zero;

Serie che coinvolge la funzione massimo intero non superiore, per m e n maggiori di 0 e primi tra loro;

Serie che coinvolge la funzione massimo intero non superiore, per m e n dispari, maggiori di 0 e primi tra loro;

Serie che coinvolge la funzione massimo intero non superiore, per m e n maggiori di 0 e primi tra loro;

Serie che coinvolge la funzione massimo intero non superiore, per m e n dispari, maggiori di 0 e primi tra loro;

Serie che coinvolge la funzione massimo intero non superiore, per p primo;

Serie che coinvolge la funzione massimo intero non superiore, per m intero diverso da zero.

 

Alcuni integrali definiti che coinvolgono la funzione:

Integrale indefinito che coinvolge la funzione massimo intero non superiore, per α ≠ –1 e x ≤ 2, e in particolare Integrale indefinito che coinvolge la funzione massimo intero non superiore, per x ≤ 2;

Integrale indefinito che coinvolge la funzione massimo intero non superiore, per x < 2;

Integrale definito che coinvolge la funzione massimo intero non superiore e in particolare Integrale definito che coinvolge la funzione massimo intero non superiore;

Integrale definito che coinvolge la funzione massimo intero non superiore;

Integrale definito che coinvolge la funzione massimo intero non superiore, per Re(α) > 2;

Integrale definito che coinvolge la funzione massimo intero non superiore;

Integrale definito che coinvolge la funzione massimo intero non superiore, per α > 1.

 

La funzione è discontinua, quindi non può avere un’espansione in serie uniformemente convergente valida per ogni argomento, tuttavia ne esistono due, valide per alcuni argomenti:

  • Espansione in serie della funzione massimo intero non superiore, per x reale e non intero;
  • Espansione in serie della funzione massimo intero non superiore; per a e b interi e a / b non intero.

 

Ramanujan propose come problema sul Journal of the Indian Mathematical Society la dimostrazioni di tre identità coinvolgenti il massimo intero non superiore:

  • Identità che coinvolge la funzione massimo intero non superiore,

  • Identità che coinvolge la funzione massimo intero non superiore,

  • Identità che coinvolge la funzione massimo intero non superiore.

 

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