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x

Funzioni 

La funzione indicata come ⌈x⌉, secondo la notazione proposta da Kenneth Eugene Iverson nel 1962 (v. notazione matematica), è il minimo intero non inferiore a x.

La funzione è anche chiamata ceil(x).

 

La figura seguente mostra parte del grafico della funzione ⌈x⌉.

 

Grafico della funzione minimo intero non inferiore a x

 

 

Formalmente si può definire la funzione in questo modo: Formula per la definizione del minimo intero non inferiore a x, ovvero ⌈x⌉ = n se e solo se n – 1 < xn.

La definizione può essere estesa ai numeri complessi tramite la formula ⌈x + iy⌉ = ⌈x⌉ + i⌈y⌉.

 

Alcune proprietà:

⌈–x⌉ = –⌊x⌋,  per x reale;

–⌈x⌉ = ⌊–x⌋, per x reale;

x⌉ = [x], per x reale e x ≤ 0 o x intero;

x⌉ = [x], per x reale non intero e x > 0;

x⌉ = x – {x}, per x reale e x ≤ 0 o x intero;

x⌉ = x – {x} + 1, per x reale non intero e x > 0;

z⌉ = –⌊–z⌋;

Formula per una proprietà della funzione minimo intero non inferiore a x, per x reale;

x + iy = ⌈x⌉ – i⌈y⌉;

Formula per una proprietà della funzione minimo intero non inferiore a x, per x reale e non intero negativo;

⌈⌈z⌉⌉ = ⌈z⌉;

⌊⌈z⌉⌋ = ⌈z⌉;

⌈⌊z⌋⌉ = ⌊z⌋;

z + n⌉ = ⌈z⌉ + n, per n intero;

Formula per una proprietà della funzione minimo intero non inferiore a x

Formula per una proprietà della funzione minimo intero non inferiore a x

z⌉ – ⌈z⌉ = 0;

z1 + z2⌉ = ⌈z1⌉ + ⌈z2⌉ + ⌈z1 + z2 – ⌈z1⌉ – ⌈z2⌉⌉;

z1z2 = (z1 – ⌈z1⌉)(z2 – ⌈z2⌉) – ⌈z1⌉⌈z2⌉ + z1z2⌉ + ⌈z1z2;;

Formula per una proprietà della funzione minimo intero non inferiore a x, per m e n interi e n > 0;

Formula per una proprietà della funzione minimo intero non inferiore a x, per n intero maggiore di 0;

Formula per una proprietà della funzione minimo intero non inferiore a x, per n intero positivo e y diverso da zero;

Formula per una proprietà della funzione minimo intero non inferiore a x, per n intero e 0 < nx;

 

Alcune serie che coinvolgono la funzione:

Serie che coinvolge la funzione minimo intero non inferiore a x, per m e n interi e n > 0;

Serie che coinvolge la funzione minimo intero non inferiore a x, per n intero e maggiore di zero;

Serie che coinvolge la funzione minimo intero non inferiore a x, per m e n interi maggiori di zero;

Serie che coinvolge la funzione minimo intero non inferiore a x.

 

Alcuni integrali definiti che coinvolgono la funzione:

Integrale indefinito che coinvolge la funzione minimo intero non inferiore a x, per α ≠ –1 e x ≤ 2, e in particolare Integrale indefinito che coinvolge la funzione minimo intero non inferiore a x, per x ≤ 2;

Integrale indefinito che coinvolge la funzione minimo intero non inferiore a x, per x < 2;

Integrale definito che coinvolge la funzione minimo intero non inferiore a x e in particolare Integrale definito che coinvolge la funzione minimo intero non inferiore a x;

Integrale definito che coinvolge la funzione minimo intero non inferiore a x;

Integrale definito che coinvolge la funzione minimo intero non inferiore a x, per Re(α) > 2;

Integrale definito che coinvolge la funzione minimo intero non inferiore a x, per α > 1.

 

La funzione è discontinua, quindi non può avere un’espansione in serie uniformemente convergente valida per ogni argomento, tuttavia ne esistono due, valide per alcuni argomenti:

  • Espansione in serie della funzione minimo intero non inferiore a x, per x reale e non intero;
  • Espansione in serie della funzione minimo intero non inferiore a x; per a e b interi e a / b non intero.

 

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