Erdös – Ulam (problema di)

Geometria  Problemi 

Il problema di Erdös – Ulam, proposto da Stanislaw Ulam nel 1946 esaminando il teorema dimostrato nel 1945 da Paul Erdös e Norman H. Anning (che afferma che non esiste un insieme infinito di punti sul piano, non tutti sulla stessa retta, con tutte le distanze tra essi intere), è l’esistenza un insieme di punti denso nel piano, tale che le distanze tra due punti qualsiasi dell’insieme siano razionali. Erdös si dichiarò molto scettico sull’esistenza di un insieme siffatto, pur non escludendone completamente la possibilità.

 

Esistono insiemi di infiniti punti, tali che le distanze tra essi siano tutte razionali; per esempio, tutti i punti su una circonferenza di raggio 1, tali che la retta che li unisce all’origine formi un angolo θ con l’asse x, con  razionale. Infatti tali punti hanno coordinate (cosθ, sinθ) e la distanza tra due punti del genere, definiti da due angoli θ₁ e θ₂, è , razionale, perché , ,  e  sono razionali.

Più in generale una circonferenza contiene un insieme di punti tali che le distanze tra due qualsiasi di essi siano razionali se e solo se il quadrato del raggio è razionale.

Tali punti però sono densi sulla circonferenza, non nel piano.

 

Nel 2010 József Solymosi e Frank de Zeeuw dimostrarono che le uniche curve algebriche che contengano infiniti punti tali che le distanze tra due qualsiasi di essi siano razionali sono la retta e la circonferenza. I due matematici dimostrarono anche che se esiste un insieme di punti del pianto tali che tutte le distanze siano razionali con infiniti punti appartenenti a una retta, al massimo 4 dei punti giacciono al di fuori di tale retta. Sostituendo retta con circonferenza, i punti esterni sono al massimo 3.

 

G. Huff (1948) e W. Peeples (1954) diedero esempi di curve sul piano contenenti un insieme infinito di punti con distanze tutte razionali, ma anche tali insiemi non sono densi nel piano.

 

Hector Pasten dimostrò che dalla congettura “abc” seguirebbe che tale insieme non esista.

 

Viceversa se tale insieme esistesse, si dimostrerebbe che la congettura “abc” è falsa e la congettura di Harbort vera.

 

Per meglio apprezzare quanto lontano dall’infinito siano gli insiemi di punti con tutte le distanze razionali, si consideri che non è noto alcun insieme del genere di 8 punti, tali che non ve ne siano 3 sulla stessa retta o 4 sulla stessa circonferenza; si conoscono famiglie di infinite configurazioni del genere di 6 punti, ma solo nel 2018 Tobias Kreisel e Sascha Kurz costruirono due configurazioni del genere con 7 punti.

La prima configurazione è costituita dai punti con coordinate P₀ = (0, 0), P₁ = (22270, 0), , , , , ; la massima distanza tra due punti è 22270, come mostra la tabella seguente.

Punti	P0	P1	P2	P3	P4	P5	P6
P0	0	22270	22098	16637	9248	8908	8636
P1	22270	0	21488	11397	15138	20698	13746
P2	22098	21488	0	10795	14450	13430	20066
P3	16637	11397	10795	0	7395	11135	11049
P4	9248	15138	14450	7395	0	5780	5916
P5	8908	20698	13430	11135	5780	0	10744
P6	8636	13746	20066	11049	5916	10744	0

 

Se l’insieme dei punti è finito, moltiplicando le distanze per il minimo comune multiplo dei denominatori, si ottengono distanze intere, semplificando la classificazione e la ricerca. Con l’aiuto di un calcolatore i due matematici dimostrarono anche che non esiste un’altra configurazione di 7 punti con la distanza massima minore di 30000.

Vedi anche

Congettura “abc”, Congettura di Harborth.

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