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tanh(x)

Analisi  Funzioni 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Formule per il calcolo della funzione
  3. 3. Serie
  4. 4. Integrali indefiniti
  5. 5. Integrali definiti
  6. 6. Altre formule

La funzione tanh(x) è la funzione tangente iperbolica.

 

Fu usata per la prima volta in un lavoro di Jean Saury (Rodez, Francia, 18/8/1734 – Bengala, 1785), nel 1774.

 

Il nome si spiega con la sua definizione geometrica; la tangente di α si può definire come la coordinata y dell’intersezione tra una delle due rette passanti per l’origine che delimitano mezzo settore circolare di area α / 2 in una circonferenza di equazione x2 + y2 = 1, l’altra essendo retta delle ascisse, e la tangente alla circonferenza nel punto (1, 0) (v. funzione tan). Se si rimpiazza la circonferenza con l’iperbole di equazione x2y2 = 1, si può definire in modo analogo la tangente iperbolica di α come la cordinata x dell’intersezione tra una retta passante per l’origine, che delimiti insieme con l’iperbole e la retta delle ascisse un’area α / 2, e la tangente all’iperbole nel punto (1, 0) come mostra la figura seguente.

 

Definizione geometrica della funzione tangente iperbolica

 

La tangente iperbolica è la lunghezza del segmento AB, misurata secondo il verso dell’asse y, quindi negativa se il punto A si trova al di sotto dell’asse x.

 

Come la tangente è il rapporto tra seno e coseno, così la tangente iperbolica è il rapporto tra seno iperbolico e coseno iperbolico.

 

Dalla definizione segue che la funzione è dispari, sempre crescente, si annulla quando l’argomento è 0, tende a 1 quando l’argomento tende a infinito e a –1 quando l’argomento tende a meno infinito.

 

La figura seguente mostra una parte del grafico della funzione.

 

Grafico della funzione tangente iperbolica

 

 

La definizione può essere estesa all’intero piano complesso tramite la formula tanh(z) = (e^z + e^(–z)) / (e^z – e^(–z)) = 2 / (e^(–2 * z) + 1) – 1; nel campo complesso la funzione si annulla per x = inπ, con n intero.

 

I valori della funzione sono trascendenti per argomenti algebrici reali diversi da 0, sono algebrici se l’argomento ha la forma i * m / n * π con m e n interi. In particolare  può essere espresso utilizzando solo le quattro operazioni e l’estrazione di radice quadrata se n è intero e m è il prodotto di una potenza di 2 (incluso 1) e di primi di Fermat distinti (anche nessuno).

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