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log(x)

Analisi  Funzioni 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Storia
  3. 3. Formule per il calcolo della funzione
  4. 4. Serie
  5. 5. Integrali indefiniti
  6. 6. Integrali definiti semplici
  7. 7. Integrali definiti doppi
  8. 8. Altre formule
  9. 9. Valori
  10. 10. log2

La funzione logx è la funzione logaritmo, talvolta indicata come ln(x); è l’inversa della funzione esponenziale.

 

La figura seguente mostra una parte del grafico della funzione.

 

Grafico della funzione logaritmo

 

La funzione è sempre crescente, si annulla per x = 0, tende a meno infinito per x tendente a zero e a infinito per x tendente a infinito.

 

La funzione, inizialmente definita per argomenti reali, venne estesa ad argomenti complessi grazie alle formule:

  • Formula per il calcolo del logaritmo nel campo complesso, per x < 0 e y < 0;
  • Formula per il calcolo del logaritmo nel campo complesso, per x < 0 e y > 0;
  • Formula per il calcolo del logaritmo nel campo complesso, per x ≥ 0.

 

Le applicazioni dei logaritmi sono infinite; ne cito solo alcune:

  • il contenuto di informazione di un messaggio formato da n simboli è Contenuto di informazione di un messaggio formato da n simboli, dove p(n) è la probabilità dell’n-esimo simbolo;
  • l’entropia di un sistema classico è KlogV(E), dove K è l a costante di Boltzmann, e V(E) è il volume corrispondente all’energia E nello spazio delle fasi;
  • i numeri esprimibili come Forma dei numeri dimostrati trascendenti da Alan Baker, con tutti gli an algebrici e diversi da 0 e tutti i bn algebrici e diversi da 1 sono trascendenti, se non esistono numeri razionali qn tali che Condizione che non deve valere perché i numeri siano trascendenti o Condizione che non deve valere perché i numeri siano trascendenti (Alan Baker, 1966);
  • i numeri esprimibili come Forma di numeri dimostrati trascendenti sono trascendenti, se a0 non è zero, i vari a1, a2, … an sono algebrici e i vari b1, b2, … bn sono algebrici e maggiori di zero:
  • per quasi tutti i numeri reali, la probabilità di occorrenza di n nello sviluppo in frazione continua è –log(2)(1 – 1 / (n + 1)^2) (v. frazioni continue), mentre la frequenza media del valore n tra i termini è log(2)(1 + 1 / (n * (n + 2))) (v. costante di Lévy);
  • secondo la legge di Benford, in qualsiasi base b maggiore di 2 la probabilità che le prime cifre di una potenza di k formino il numero n, se b e k non sono l’uno potenza dell’altro, è log(b)((n + 1)/ n) (v. potenze).

Bibliografia

  • Bellos, Axel;  Il meraviglioso mondo dei numeri, Torino, Einaudi, 2011 -

    Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

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