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log(x)

Analisi  Funzioni 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Storia
  3. 3. Formule per il calcolo della funzione
  4. 4. Serie
  5. 5. Integrali indefiniti
  6. 6. Integrali definiti semplici
  7. 7. Integrali definiti doppi
  8. 8. Altre formule
  9. 9. Valori
  10. 10. log2

Alcune formule per il calcolo del logaritmo:

log(–z) = logz – iπ, per Im(z) ≥ 0 e log(–z) = logz + iπ, per Im(z) < 0;

log(xy) = logx + logy;

Formula per il calcolo del logaritmo;

logxy = ylogx e in particolare logex = x;

zloga = alogz;

logz = logz;

logx = logalogax;

logz = logW(z) + W(z);

Formula per il calcolo del logaritmo, per Re(z) ≥ 0 o Im(z) < 0;

Formula per il calcolo del logaritmo, per Re(z) < 0 e Im(z) ≥ 0.

 

Formule che coinvolgono la funzione sin–1:

Formula per il calcolo del logaritmo, per Im(z) < 0 o z reale e z < 0;

Formula per il calcolo del logaritmo, per Im(z) > 0 o z reale e z > 0.

 Formule che coinvolgono la funzione cos–1:

Formula per il calcolo del logaritmo, per Im(z) < 0 o z reale e z < 0;

Formula per il calcolo del logaritmo, per Im(z) > 0 o z reale e z > 0.

 

Formule che coinvolgono la funzione tan–1:

Formula per il calcolo del logaritmo.

 

Formule che coinvolgono la funzione sinh–1:

Formula per il calcolo del logaritmo, per Re(z) < 0 e Im(z) < 0;

Formula per il calcolo del logaritmo, per Re(z) < 0 e Im(z) ≥ 0;

Formula per il calcolo del logaritmo, per Re(z) ≥ 0.

 

 Formule che coinvolgono la funzione cosh–1:

Formula per il calcolo del logaritmo, per |z| < 1 e Im(z) ≠ 0 o z reale e 0 < z < 1;

Formula per il calcolo del logaritmo, per 1 ≤ |z| e Im(z) ≠ 0;

Formula per il calcolo del logaritmo, per z reale e –1 < z < 0.

 

Formule che coinvolgono la funzione tanh–1:

Formula per il calcolo del logaritmo, per Im(z) ≠ 0 o z reale e –1 ≤ z;

Formula per il calcolo del logaritmo, per z reale e z < –1;

Formula per il calcolo del logaritmo, per Re(z) ≤ 0 e Im(z) < 0;

Formula per il calcolo del logaritmo, per Re(z) < 0 e Im(z) ≥ 0;

Formula per il calcolo del logaritmo, per Re(z) > 0 o Re(z) = 0 e Im(z) > 0;

Formula per il calcolo del logaritmo, per –1 < x + y.

 

Alcune frazioni continue per il calcolo del logaritmo:

Frazione continua per il calcolo del logaritmo, per x > –1;

Frazione continua per il calcolo del logaritmo, per x > –1;

Frazione continua per il calcolo del logaritmo, per |x| < 1.

 

Alcuni sviluppi in serie del logaritmo e di funzioni che coinvolgono il logaritmo:

Sviluppo in serie del logaritmo, per x > 1 / 2;

Sviluppo in serie del logaritmo, per x > 0;

Sviluppo in serie del logaritmo di z + 1, per |z| > 1 e in particolare Sviluppo in serie del logaritmo, per 0 < x ≤ 2a e Sviluppo in serie del logaritmo, per 0 < x ≤ 2;

Sviluppo in serie del logaritmo di x + 1, per –1 < x ≤ 1;

Sviluppo in serie del logaritmo di x + a, per a > 0 e x > –a;

Sviluppo in serie del logaritmo di x + 1;

Sviluppo in serie del logaritmo di x + 1 (Peter Bala, 2009);

Sviluppo in serie del logaritmo di x + 1 (Peter Bala, 2009);

Sviluppo in serie del logaritmo di x + 1 (Peter Bala, 2009);

Sviluppo in serie del logaritmo di x + 1 (Peter Bala, 2009);

Sviluppo in serie del logaritmo di x + 1 (Peter Bala, 2009);

Sviluppo in serie del logaritmo di x + 1 (Peter Bala, 2009);

Sviluppo in serie della potenza del logaritmo di x + 1, per 0 < x < 1;

Sviluppo in serie del logaritmo di (1 + x) / (1 – x), per –1 < x < 1;

Sviluppo in serie del logaritmo di 1 + 1 / z, per Re(z) > 0, dove Nn è l’n-esimo numero di Nørlund (N.E. Nørlund, 1924);

Sviluppo in serie del logaritmo di (e^x – 1) / x, per |x| < 2π (Ramanujan);

Sviluppo in serie di z / ((1 + z * log(1 + z)), per |z| < 1, dove Nn è l’n-esimo numero di Nørlund;

Sviluppo in serie di log(log(1 + z)), per |z| < 1, dove Nn è l’n-esimo numero di Nørlund.

 

Serie per valori particolari dell’argomento:

Serie convergente a π^2 * log(2)^2;

Serie convergente a log(4 / π) (Jonathan Sondow e Petros Hadjicostas, 2006);

Serie convergente a π^2 * log(2)^2;

Serie convergente a log(π) (Jonathan Sondow e Petros Hadjicostas, 2006);

Serie convergente a log(2 * π) (Calogero Salvatore Siracusa, 2021).

 

Vanno anche ricordate alcune stupefacenti serie, come omaggio al genio di Ramanujan:

Serie convergente a log(2) – 1 / 2;

Serie convergente a (log(3) – 1) / 2;

Serie convergente a π^2 / 12 – log(2)^2 / 2;

Serie convergente a π^2 / 6 – 3 * log(φ)^2.

 

Prodotto convergente a log(z).

 

Integrale per il calcolo del logaritmo.

Bibliografia

  • Bellos, Axel;  Il meraviglioso mondo dei numeri, Torino, Einaudi, 2011 -

    Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.

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