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Worpitzky (numeri di)

Matematica combinatoria 

I numeri di Worpitzky furono definiti da Julius Worpitzky nel 1883 come Formula per la definizione dei numeri di Worpitzky, con kn.

Una formula equivalente, che coinvolge i numeri di Stirling di seconda specie, è Formula per il calcolo dei numeri di Worpitzky.

 

I numeri di Worpitzky possono anche essere calcolati con la ricorrenza W(n, k) = (k + 1)W(n – 1, k) + kW(n – 1, k – 1).

 

I numeri di Worpitzky sono anche legati ai numeri di Bernoulli e ai numeri euleriani (I):

Formula per il calcolo dei numeri di Bernoulli tramite i numeri di Worpitzky;

Formula che lega i numeri di Worpitzky ai numeri euleriani;

Formula che lega i numeri di Worpitzky ai numeri euleriani;

Formula che lega i numeri di Worpitzky ai numeri euleriani.

 

Alcuni valori:

W(n, 0) = 1;

W(n, 1) = 2n – 1;

W(n, n) = n!.

 

Le tabelle seguenti mostrano i numeri di Worpitzky per n e k fino a 20.

n \ k

0

1

2

3

4

0

1

 

 

 

 

1

1

1

 

 

 

2

1

3

2

 

 

3

1

7

12

6

 

4

1

15

50

60

24

5

1

31

180

390

360

6

1

63

602

2100

3360

7

1

127

1932

10206

25200

8

1

255

6050

46620

166824

9

1

511

18660

204630

1020600

10

1

1023

57002

874500

5921520

11

1

2047

173052

3669006

33105600

12

1

4095

523250

15195180

180204024

13

1

8191

1577940

62350470

961800840

14

1

16383

4750202

254135700

5058406080

15

1

32767

14283372

1030793406

26308573200

16

1

65535

42915650

4166023740

135666039624

17

1

131071

128878020

16792841910

694994293080

18

1

262143

386896202

67558001700

3542142833040

19

1

524287

1161212892

271392695406

17980946172000

20

1

1048575

3484687250

1089054420300

90990301641624

 

n \ k

5

6

7

8

5

120

 

 

 

6

2520

720

 

 

7

31920

20160

5040

 

8

317520

332640

181440

40320

9

2739240

4233600

3780000

1814400

10

21538440

46070640

59875200

46569600

11

158838240

451725120

801496080

898128000

12

1118557440

4115105280

9574044480

14495120640

13

7612364760

35517081600

105398092800

207048441600

14

50483192760

294293759760

1091804313600

2706620716800

15

328191186960

2362955474880

10794490827120

33094020960000

16

2100689987760

18509835445920

102896614941120

384202115256960

17

13282470124680

142172988048000

952741767650400

4280991956841600

18

83169792213480

1074905737084080

8617145057539200

46150861752777600

19

516729467446080

8023358912869440

76461500619902160

484294916235312000

20

3190281535536480

59263889194762560

667855517349303360

4970346251077025280

 

n \ k

9

10

11

9

362880

 

 

10

19958400

3628800

 

11

618710400

239500800

39916800

12

14270256000

8821612800

3113510400

13

273158645760

239740300800

134399865600

14

4595022432000

5368729766400

4249941696000

15

70309810771200

105006251750400

110055327782400

16

1000944296352000

1858166876966400

2475732702643200

17

13467262000832640

30449278610150400

50148628078348800

18

173201547619900800

469614684719980800

936725601651840000

19

2147373231974006400

6897777008118796800

16406468751741868800

20

25832386565857872000

97349279409046828800

272753172110209190400

 

n \ k

12

13

14

12

479001600

 

 

13

43589145600

6227020800

 

14

2179457280000

653837184000

87178291200

15

79332244992000

37486665216000

10461394944000

16

2351983118284800

1556132497920000

681734237184000

17

60284572969420800

52361635508582400

32011868528640000

18

1385482985542656000

1516762345722624000

1213240925049753600

19

29251986031876608000

39245951652171264000

39433286715863040000

20

577153443435298329600

929719141544793600000

1140942623868343296000

 

n \ k

15

16

17

15

1307674368000

 

 

16

177843714048000

20922789888000

 

17

13071512982528000

3201186852864000

355687428096000

18

689322235650048000

263564384219136000

60822550204416000

19

29227769646147072000

15509750302126080000

5575400435404800000

20

1059143615076298752000

731310069474496512000

364022962973429760000

 

n \ k

18

19

20

18

6402373705728000

 

 

19

1216451004088320000

121645100408832000

 

20

123469776914964480000

25545471085854720000

2432902008176640000

 

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