Perfetti (numeri)

Si chiamano “perfetti” i numeri naturali uguali alla somma dei propri divisori, includendo 1, ma escludendo il numero stesso, vale a dire i numeri per i quali σ(n) = 2n.

 

Euclide aveva dimostrato che se 2^p – 1 è primo (oggi diremmo che è un primo di Mersenne), 2^{p – 1}(2^p – 1) è perfetto ed aveva congetturato che tutti i numeri perfetti pari siano di questa forma; la dimostrazione però fu trovata solo da Eulero, oltre due millenni dopo (si veda 104 Number Theory Problems).

 

Si conoscono quindi tanti numeri perfetti quanti sono i numeri primi di Mersenne. In effetti, la caccia ai numeri perfetti fu per secoli la principale motivazione per la ricerca di primi di Mersenne.

 

I primi quattro, 6, 28, 496 e 8128, erano noti nell’antica Grecia.

Le indagini su questi numeri furono dapprima stimolate da speculazioni filosofiche e numerologiche. Intorno al 100 d. C. Nicomachus di Gerasa (Gerasa, Giordania, circa 60 – circa 120) divise per primo i numeri naturali in perfetti, abbondanti e deficienti in Introductio Arithmetica (con fantasiosi paragoni con animali con arti e organi in sovrannumero o mancanti) ed elencò esplicitamente i primi quattro: 6, 28, 496 e 8128. Notò che ve n’è esattamente uno tra due potenze consecutive di 10 (10, 100, 1000 etc.), ma sembra che sia stato di Iambilichus (283 circa – 330) l’errore di considerare sempre vere queste caratteristiche, traendone anche la conseguenza che tali numeri sono infiniti. Boezio in De institutione arithmetica riprese queste affermazioni: “Et semper hi numeri duobus paribus terminantur, .VI. et .VIII., et semper alternatim in hos numeros summarum fine provenient” (E sempre questi numeri sono conclusi da due pari, 6 e 8, e sempre terminano in modo alternato alla fine delle somme [dei divisori] in questi numeri).

In effetti i numeri perfetti, a parte 6, devono terminare in 28 o 6, ma non è detto che le cifre finali si alternino (la prima ripetizione della cifra finale avviene proprio con i due numeri perfetti immediatamente successivi a quelli noti a Iambilichus), mentre non vi è alcun numero perfetto tra 10000 e 100000.

 

Questi errori furono poi ripresi da autori successivi e tramandati per una quindicina di secoli: Aurelio Augustino (354– 430), Boezio (Anicio Manlio Severino Boezio, 481 circa – 524), il filosofo condannato a morte da Teodorico, citato nella “leggenda di Teodorico” di Carducci, Alcuino di York (735 – 804), Luca Pacioli (1445 – 1517), per citarne solo alcuni.

Pacioli sembra commettere per primo l’errore di supporre primi tutti i numeri di Mersenne di indice dispari, mentre se n = ab, 2ⁿ – 1 è divisibile per 2^a – 1 e 2^b – 1. Pacioli considera infatti primo 2²⁷ – 1 = 134217727 = 7 • 73 • 262657. Da notare che in questo caso il fattore 7, indicato dalla regola sopra esposta, si trova anche facilmente per tentativi.

Charles de Bouvelles (Saint-Quentin, Francia, circa 1475 – Ham, dopo il 1566) fu il primo a dare esplicitamente questa regola errata (che implicherebbe l’alternanza delle cifre finali), citando 2⁹ – 1 = 511 = 7 • 71 come primo; anche in questo caso sarebbero serviti ben pochi calcoli per trovare l’errore.

A onor del vero i matematici più seri, come Thâbit ben Korrah e Leonardo Pisano, distinguevano tra teoremi, come quello di Euclide, e congetture, ma fino al Rinascimento molti si limitavano a ripetere le opinioni altrui senza operare distinzioni, né tantomeno semplici verifiche.

Persino illustri matematici come Tartaglia caddero in un errore che oggi uno studente delle medie evita facilmente (anche senza usare la calcolatrice, se è bravo).

 

Il matematico arabo Ismail ibn Ibrahim ibn Fallus (1194 – 1239) diede un elenco dei primi 10 numeri perfetti, con ^p uguale a 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 17, 19 e 23. I casi 9, 11 e 23 erano errati, tuttavia per i casi 13, 17 e 19 gli spetta il primato della scoperta, o meglio, gli spetterebbe se avesse dimostrato 2^p – 1 primo in tali casi, ma l’impressione è che le sue fossero semplici congetture. Il suo lavoro fu però totalmente ignorato in Europa e tali numeri furono riscoperti indipendentemente.

Nel 1456 un manoscritto, scritto da un anonimo fiorentino allievo di Domenico d'Agostino Vaiaio, riportò il quinto numero perfetto, 2¹²(2¹³ – 1) = 3355036, che pose fine alla congettura dell’esistenza di un numero perfetto tra potenze consecutive di 10, ma rinforzò l’idea dell’alternanza delle cifre finali. Non è dato sapere se l’Autore abbia attinto all’opera di ibn Fallus o abbia riscoperto il numero.

 

Finalmente Cataldi (1548 – 1626) trovò il sesto numero perfetto, 2¹⁶(2¹⁷ – 1) = 8589869056, e il settimo (Trattato de numeri perfetti, Bologna 1603), facendo così crollare la “regola” dell’alternanza delle cifre finali. Cataldi dimostrò che M₁₇ e M₁₉ sono primi, provando tutti i possibili divisori, dimostrò che solo i numeri di Mersenne con indice primo possono essere primi e dimostrò che non tutti lo sono, riportando la scomposizione di M₁₁ = 2¹¹ – 1 = 2047 = 23 • 89 (già trovata nel 1538 da Hudalrichus Regius). Le sue ricerche lo costrinsero a creare una tabella dei numeri primi (sino a 750), che fu tra le prime pubblicate.

Il primo esempio di ripetizione della cifra 8 finale si ha con i due numeri perfetti successivi: 2¹⁸(2¹⁹ – 1) = 137438691328 e 2³⁰(2³¹ – 1) = 2305843008139952128.

 

Il lavoro di Cataldi non impedì a decine di autori del XVII secolo, tra i quali Bachet, di continuare a proporre liste di numeri perfetti sbagliate, considerando erroneamente molti numeri di Mersenne composti, tra i quali 511, come primi. Cataldi stesso diede un elenco errato di primi di Mersenne (e quindi di numeri perfetti), aggiungendo a quelli trovati anche M₂₃, M₂₉, M₃₁ e M₃₇, tra i quali solo M₃₁ è primo.

 

Nel Medio Evo si sprecano le speculazioni filosofiche sulla perfezione di alcuni numeri: per esempio, secondo Alcuino la creazione dell’universo, opera perfetta, richiese 6 giorni, mentre gli (imperfetti) esseri umani a bordo dell’Arca di Noé erano 8 (piuttosto seccante: è addirittura un numero deficiente). E’ interessante notare che molte di queste elucubrazioni di autori cristiani riprendevano in realtà le più antiche tradizioni pagane pitagoriche, come considerare 5 simbolo del matrimonio, perché formato dall’“unione” tra il numero femminile 2 e il numero maschile 3.

Ancora venivano trovate tracce di perfezione nella lunghezza di 28 giorni del ciclo lunare (che già i babilonesi sapevano essere ben più lungo), o, per i mussulmani, nelle 28 lettere dell’alfabeto arabo, usate per scrivere il Corano (Abū al-Rayḥān Muḥammad ibn Aḥmad al-Bīrūnī, Beruniy, Uzbekistan, 973 – Ghazni, Afghanistan 13/12/1048) e nei 28 profeti menzionati prima di Maometto nel Corano stresso.

 

Franciscus Maurolycus (1494 – 1575) dimostrò (correttamente) nel 1575 che i numeri perfetti sono esagonali e quindi triangolari.

 

Fermat asserì che i fattori primi di M_n devono avere la forma 2kn + 1, come dimostrato in seguito da Eulero, riducendo di molto i tentativi da effettuare per dimostrare che un numero di Mersenne è primo, dimostrò che Cataldi s’era sbagliato a proposito di M₂₃ e M₃₇ e asserì di poter risolvere qualsiasi problema relativo alle somme dei divisori. Sfidato nel 1644 da Frenicle a trovare un numero perfetto di 20 o 21 cifre, replicò che non ne esistono. Non è chiaro se Fermat fosse a conoscenza dei lavori di Mersenne, avesse realmente dimostrato che l’ottavo numero di Mersenne è M₃₁ o si basasse solo su congetture, perché il grande francese non amava svelare i suoi metodi; fatto sta che la risposta era corretta. Possiamo supporre che conoscesse il lavoro di Cataldi o fosse arrivato indipendentemente alle stesse conclusioni, dopodiché gli sarebbe semplicemente bastato calcolare che da M₃₁ si ottiene un numero di 19 cifre e da M₃₇ (il candidato successivo, che non è primo) se ne otterrebbe uno di 22, anche senza stabilire se M₃₁ e M₃₇ siano primi o meno.

 

Mersenne compilò una lista di numeri di Mersenne primi, e di conseguenza di numeri perfetti (v. numeri di Mersenne), contenente però errori, che vennero scoperti solo due secoli dopo, ma comunque la sua opera segnò la fine delle congetture sopra riferite, almeno tra i matematici seri.

 

Per trovare una dimostrazione rigorosa che M₃₁ è primo bisognò aspettare sino al 1772, quando Eulero ci riuscì, verificando tutti i possibili fattori. Eulero trovò anche l’ultimo errore nella lista di Cataldi, scomponendo M₂₉ (1738).

Eulero dimostrò che se p è dispari, i fattori primi di 2^p – 1 sono della forma 8k + 1 o 8k + 7, dimezzando all’incirca il numero di divisioni da eseguire per dimostrare primo un numero di Mersenne.

 

All’inizio del XIX secolo 2³⁰(2³¹ – 1) era, secondo alcuni, “il più grande numero perfetto che sarà mai scoperto, perché, dato che sono curiosi senza essere utili, non è verosimile che alcuno tenterà di trovarne uno maggiore” (Peter Barlow, La Teoria dei Numeri, 1811). Una delle previsioni più sbagliate della storia della matematica: la gara incoraggiata da Mersenne continuò a interessare grandi matematici e semplici appassionati e prosegue tuttora.

 

Quasi tutti gli esperti ritengono che i primi di Mersenne, e quindi i numeri perfetti, siano infiniti, ma non si intravvede neppure una possibile via per dimostrarlo.

 

La tabella seguente riporta i primi 10 numeri perfetti.

Primo di Mersenne	Numero perfetto	Scomposizione
M2 = 3	6	2(22 – 1)
M3 = 7	28	22(23 – 1)
M5 = 31	496	24(25 – 1)
M7 = 127	8128	26(27 – 1)
M13 = 8191	33550336	212(213 – 1)
M17 = 131071	8589869056	216(217 – 1)
M19 = 524287	137438691328	218(219 – 1)
M31 = 2147483647	2305843008139952128	230(231 – 1)
M61 = 2305843009213693951	2658455991569831744654692615953842176	260(261 – 1)
M89 = 618970019642690137449562111	191561942608236107294793378084303638130997321548169216	288(289 – 1)

 

Alcune proprietà dei numeri perfetti:

• se n è perfetto, , dove la somma va calcolata su tutti i divisori di n (Catalan);

• se n è perfetto, d(n) è pari, perché n non è un quadrato;

• un numero perfetto maggiore di 6 è multiplo di un quadrato;

• imultipli dei numeri perfetti sono abbondanti, quindi nessun numero perfetto è multiplo di un altro numero perfetto;

• un numero perfetto pari non è trapezoidale;

• ogni numero perfetto è pratico.

 

Ogni numero perfetto pari 2^{p – 1}(2^p – 1) è:

• esagonale ;

• triangolare , ossia esprimibile come somma di interi consecutivi da 1 a 2^p – 1;

• se maggiore di 6, ennagonale centrato  (v. numeri poligonali centrati);

• se maggiore di 6, esprimibile come , dove T_n è un numero triangolare e  è della forma 8k + 2;

• se maggiore di 6, somma dei primi  cubi dispari consecutivi a partire da 1;

• pernicioso.

 

Un numero n è perfetto se e solo se  (Ruiz).

 

La somma dei reciproci dei numeri perfetti, sia pari che dispari, è finita.

 

Non esistono numeri perfetti che siano coefficienti binomiali  con n ≥ 2k ≥ 6 (Florian Luca e Juan Luis Varona, 2008).

 

Nel 1962 Andrzej Mąkowski dimostrò che 28 = 3³ + 1 è l’unico perfetto pari della forma a³ + 1; nel 2010 Luis H. Gallardo imostrò che è l’unico perfetto pari che sia somma di due cub.

Più in generale 28 è è l’unico perfetto pari della forma aⁿ + bⁿ con a e b primi tra loro e n > 1 e in particolare l’unico della forma aⁿ + 1 con n > 1.

 

I numeri perfetti pari maggiori di 6 terminano con 16, 28, 36, 56, 76 o 96 (Lucas, 1891).

 

Con l’eccezione di 6, la radice numerica, ovvero la somma delle cifre ripetuta fino a restare con una sola cifra, è 1. Vale a dire che i numeri perfetti maggiori di 6 danno resto 1 se divisi per 9.

 

Nel 1979 James P. Jones dimostrò che sostituendo interi non negativi alle 13 variabili nel polinomio di grado 27 (2b + 2)n(1 – (4b + 3 – n)² – b((2 + hn² – a)² + (n³d³(nd + 2)(h + 1)² + 1 – m²)² + (db + d + chn² + g(4a – 5) – kn)² + ((a² – 1)c² + 1 – k²n²)² + (4(a² – 1)i²c⁴ + 1 – f²)² + ((kn – lf)² – ((a + f²(f² – a))² – 1)(b + 1 + 2jc)² – 1)²)), i valori positivi che si ottengono sono tutti e soli i numeri perfetti!

Le variabili possono essere ridotte a 7, ma al prezzo di portare il grado del polinomio a 915; viceversa si può ridurre il grado a 5, portando le variabili a una ventina.

Vedi anche

Congettura di Ore, Funzione σ, Numeri S-perfetti, Numeri abbondanti, Numeri amichevoli (I), Numeri anti-perfetti, Numeri deficienti, Numeri di Cartesio, Numeri di Mersenne, Numeri iperperfetti, Numeri multiperfetti, Numeri perfetti aumentati, Numeri perfetti moltiplicativi, Numeri perfetti ridotti, Numeri perfetti speculari, Numeri pseudoperfetti, Numeri socievoli, Numeri sublimi, Numeri superperfetti.

Bibliografia

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  Raccolta di problemi utilizzati per agli allenamenti della squadra statunitense per le Olimpiadi di Matematica.

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  Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

• Gardner, Martin;  "Giochi matematici" in Le Scienze, Milano, n. 22, giugno 1970, pag. 92 – 96.
• Katz, Victor J.;  A History of Mathematics, New York, Pearson, III ediz., 2018 -

  Una miniera di informazioni storiche.

• Pickover, Clifford A.;  A Passion for Mathematics, Hoboken, John Wiley & Sons, 2005.
• Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

  Una miniera di informazioni sugli interi.

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• Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

  Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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