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La funzione Shi(x) è chiamata “seno iperbolico integrale” ed è definita come 
.
La figura mostra una parte del grafico della funzione Shi(x).
La funzione è dispari e crescente, tende a meno infinito per x tendente a meno infinito e a infinito per x tendente a infinito. Si azzera solo per x = 0 e ha e un unico flesso, sempre per x = 0.
Alcuni valori:
Shi(x) = 1 per x ≈ 0.9509144042;
Shi(x) = x solo per x = 0.
Alle voci espansione di Lehmer, frazioni continue e frazioni continue centrate si trovano ottime approssimazioni del valore di x per il quale Shi(x) = 1.