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Pseudoprimi assoluti di Eulero

Teoria dei numeri 

Si chiamano “pseudoprimi assoluti di Eulero” i numeri composti n che sono pseudoprimi di Eulero rispetto a ogni base minore di n che non divida n prima rispetto a n.

 

Gli pseudoprimi assoluti di Eulero minori di 106 sono: 1729, 2465, 15841, 41041, 46657, 75361, 162401, 172081, 399001, 449065, 488881, 530881, 656601, 670033, 838201, 997633.

Qui trovate gli pseudoprimi assoluti di Eulero minori di 1013 (Daniel Lignon e Dana Jacobsen).

 

Un intero n è uno pseudoprimo assoluto di Eulero se soddisfa una condizione analoga a quella dei numeri di Carmichael, ossia se e solo se è il prodotto di tre o più primi dispari distinti e per ogni primo p che divide n, p – 1 divide (n – 1) / 2, pertanto uno pseudoprimo assoluto di Eulero non è mai multiplo di un quadrato e tutti gli pseudoprimi assoluti di Eulero sono numeri di Carmichael, ma non viceversa.

 

Il teorema di D.J. Lehmann afferma che un intero dispari n è primo se e solo se per ogni intero positivo a minore di n vale a^((n – 1) / 2) ≡ ±1 mod n ed esiste almeno un intero a minore di n tale che a^((n – 1) / 2) ≡ –1 mod n. La seconda parte è necessaria, perché per gli pseudoprimi assoluti di Eulero a^((n – 1) / 2) ≡ 1 mod n per ogni a minore di n e primo rispetto a n, quindi gli pseudoprimi assoluti di Eulero passano l’esame di primalità di Lehmann per quasi tutti i valori di a e potremmo chiamarli “pseudoprimi di Lehmann”.

 

Se 12k + 7, 24k + 13 e 36k + 19 sono primi, il loro prodotto è uno pseudoprimo assoluto di Eulero. Secondo la congettura di Dickson, i valori di k che soddisfano i requisiti sono infiniti.

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