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I primi di Mersenne sono gli unici primi della forma an – 1 con a intero positivo.
Quasi tutti ritengono che il numero di primi di Mersenne sia infinito, ma non vi è accordo su come siano distribuiti. Le congetture di Eberhart, di Gillies, di Lenstra, Pomerance e Wagstaff e di Wagstaff propongono varie stime asintotiche del loro numero, tra le quali è difficile decidere quale sia la più plausibile, almeno in base ai pochi dati disponibili.
Per quanto riguarda i primi di Mersenne minori di n:
-
Gillies ipotizzò che tendano a
;
-
Pomerance suggerì che tendano a c(loglogn)2, con c costante;
-
S.S. Wagstaff Jr. propose nel 1983 che tendano a
.
Non è neppure stato dimostrato che esistano infiniti Mp composti con p primo, anche se estremamente probabile.
La congettura di Eberhart afferma che se Mp è l’n-esimo primo di Mersenne, p è circa per n abbastanza grande. Nella maggior parte dei casi
è una sottostima del primo, tuttavia
e il dodicesimo primo di Mersenne ha indice 127, mentre
e il ventitreesimo primo di Mersenne ha indice 11213.
S.S. Wagstaff Jr. suggerì nel 1983 che vi siano in media eγ ≈ 1.7810724180 primi p tra n e 2n, tali che Mp sia primo e che se p è primo, la probabilità che Mp sia un primo di Mersenne tenda a , se p è della forma 4n + 3, e a
, se p è della forma 4n + 1.
Bateman, Selfridge e Wagstaff riproposero una versione riveduta delle antiche ipotesi di Mersenne, nota come “nuova congettura di Mersenne”; supponendo che Mp sia primo se e solo se le due seguenti affermazioni sono entrambi vere o entrambi false:
-
p è un primo di Wagstaff, cioè
è primo;
-
p è della forma 2k ± 1 o 4k ± 3.
Un modo equivalente di esporre la congettura è che due affermazioni tra le precedenti e il fatto che Mp sia primo implicano la terza.
La congettura è stata verificata per tutti i primi inferiori a 12441900; molti ritengono che i primi che soddisfano le due condizioni siano in numero finito (e potrebbero essere già stati scoperti tutti) e che la congettura potrebbe essere solo una coincidenza, legata a un piccolo insieme di numeri.
Per anni si è speculato sul fatto che se p è un primo di Mersenne, Mp dovesse essere primo; nel XX secolo è stato finalmente trovato un controesempio: M13 = 8191 è primo, ma M8191 non lo è.
Quando fu dimostrato che M127 è primo, Catalan propose una particolare versione di questa congettura affermando che vale per la sequenza M2, M3, M7, M127, ciascuno dei quali ha come indice il numero precedente; in questa forma è nota come “congettura di Catalan – Mersenne”. Potrebbe trattarsi di una semplice coincidenza, come il fatto che i primi 4 numeri di Fermat siano primi; dato che il termine successivo ha oltre 1038 cifre, una verifica diretta non è semplice, ma Landon Curt Noll verificò che non ha fattori primi inferiori a 5 • 1050.
Considerando solo i primi p noti tali che Mp sia primo, solo 521 e 756839 sono maggiori della somma di tutti i primi inferiori; il fatto che i primi con tale proprietà siano infiniti o meno dipende dal fatto che i primi di Mersenne siano infiniti e da come siano distribuiti.
Nel 1979 James P. Jones dimostrò che i valori positivi che si ottengono sostituendo interi non negativi alle 13 variabili nel polinomio di grado 26 n(1 – (4b + 3 – n)2 – b((2 + hn2 – a)2 + (n3d3(nd + 2)(h + 1)2 + 1 – m2)2 + (db + d + chn2 + g(4a – 5) – kn)2 + ((a2 – 1)c2 + 1 – k2n2)2 + (4(a2 – 1)i2c4 + 1 – f2)2 + ((kn – lf)2 – ((a + f2(f2 – a))2 – 1)(b + 1 + 2jc)2 – 1)2)), sono tutti e soli i primi di Mersenne!
Le variabili possono essere ridotte a 7, ma al prezzo di portare il grado del polinomio a 914.
Sono noti anche vari primi della forma 2n – k; la seguente tabella mostra alcuni primi di tale forma.
k |
Valori di n che producono un primo. |
1 |
v. tabella dei primi di Mersenne |
3 |
3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 14, 20, 22, 24, 29, 94, 116, 122, 150, 174, 213, 221, 233, 266, 336, 452, 545, 689, 694, 850, 1736, 2321, 3237, 3954, 5630, 6756, 8770, 10572, 14114, 14400, 16460, 16680, 20757, 26350, 30041, 34452, 36552, 42689, 44629, 50474 |
5 |
3, 4, 6, 8, 10, 12, 18, 20, 26, 32, 36, 56, 66, 118, 130, 150, 166, 206, 226, 550, 706, 810, 1136, 1228, 1818, 2368, 2400, 3128, 4532, 5112, 8492, 16028, 16386, 17392 |
7 |
39, 715, 1983, 2319, 2499, 3775, 12819 |
9 |
4, 5, 9, 11, 17, 21, 33, 125, 141, 243, 251, 285, 321, 537, 563, 699, 729, 2841, 3365, 8451, 8577, 9699, 9725 |
11 |
4, 6, 10, 18, 42, 78, 94, 114, 190, 322, 546, 3894 |
13 |
4, 5, 9, 13, 17, 57, 105, 137, 3217, 3229, 4233, 6097, 8757, 11457, 12073 |
15 |
5, 7, 8, 10, 14, 16, 23, 76, 95, 100, 158, 196, 235, 338, 620, 1646, 1850, 1891, 3833, 4394, 5194, 6017, 6070, 8824, 9955, 11399 |
17 |
6, 8, 12, 16, 18, 20, 22, 24, 32, 36, 42, 44, 96, 104, 152, 174, 198, 336, 414, 444, 468, 488, 664, 808, 848, 3632, 4062, 5586, 5904, 6348, 8628, 9224, 9916 |
19 |
5, 7, 11, 15, 19, 21, 31, 39, 67, 69, 85, 157, 171, 191, 255, 291, 379, 3669, 4551, 9531, 13119 |
21 |
5, 6, 7, 9, 11, 13, 14, 21, 23, 41, 46, 89, 110, 389, 413, 489, 869, 1589, 1713, 2831, 10843, 11257 |
23 |
6, 8, 12, 14, 18, 36, 68, 152, 212, 324, 1434, 1592, 1668, 3338, 7908, 9662 |
Vedi anche
Primi (numeri), Congetture sui numeri di Mersenne, Congetture sui numeri primi, Costante di Erdös – Borwein, Numeri di Eisenstein – Mersenne, Numeri di Mersenne doppi, Numeri di Mersenne gaussiani, Numeri pluriunitari, Numeri sublimi.Bibliografia
- Adler, Andrew;  Coury, John E.;  The Theory of Numbers: a Text and Source Book of Problems, Londra, Jones and Bartlett Publishers, 1995.
- Bach, Eric;  Shallit, Jeffrey;  Algorithmic Number Theory, MIT Press, 1997.
- Bressanini, Dario;  "In 200000 per scoprire un numero primo" in Le Scienze, Milano, n. 425, gennaio 2004, pag. 22 – 23.
- Eves, Howard W.;  Mathematical Circles, Mathematical Association of America, vol. III, 2003 -
Una stupenda raccolta di aneddoti a sfondo matematico, pubblicati inizialmente con i titoli Mathematical Circles Adieu (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1977) e Return to Mathematical Circles (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1988).
- Giblin, Peter;  Primes and Programming, Cambridge University Press, 1993.
- Shanks, Daniel;  Solved and Unsolved Problems in Number Theory, New York, Chelsea Publishing Co, V ediz., 2002 -
La prima edizione risale al 2002; il grande successo del libro ha motivato le successive edizioni, ampliate e rivedute alla luce di progressi fatti negli anni.
- Stewart, Ian;  Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities, Basic Books, 2009.
- Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -
Una miniera di informazioni sui numeri primi.