Mersenne (numeri di)

I primi di Mersenne sono gli unici primi della forma aⁿ – 1 con a intero positivo.

 

Quasi tutti ritengono che il numero di primi di Mersenne sia infinito, ma non vi è accordo su come siano distribuiti. Le congetture di Eberhart, di Gillies, di Lenstra, Pomerance e Wagstaff e di Wagstaff propongono varie stime asintotiche del loro numero, tra le quali è difficile decidere quale sia la più plausibile, almeno in base ai pochi dati disponibili.

Per quanto riguarda i primi di Mersenne minori di n:

• Gillies ipotizzò che tendano a ;

• Pomerance suggerì che tendano a c(loglogn)², con c costante;

• S.S. Wagstaff Jr. propose nel 1983 che tendano a .

Non è neppure stato dimostrato che esistano infiniti M_p composti con p primo, anche se estremamente probabile.

 

La congettura di Eberhart afferma che se M_p è l’n-esimo primo di Mersenne, p è circa  per n abbastanza grande. Nella maggior parte dei casi  è una sottostima del primo, tuttavia  e il dodicesimo primo di Mersenne ha indice 127, mentre  e il ventitreesimo primo di Mersenne ha indice 11213.

 

S.S. Wagstaff Jr. suggerì nel 1983 che vi siano in media e^γ ≈ 1.7810724180 primi p tra n e 2n, tali che M_p sia primo e che se p è primo, la probabilità che M_p sia un primo di Mersenne tenda a , se p è della forma 4n + 3, e a , se p è della forma 4n + 1.

 

Bateman, Selfridge e Wagstaff riproposero una versione riveduta delle antiche ipotesi di Mersenne, nota come “nuova congettura di Mersenne”; supponendo che M_p sia primo se e solo se le due seguenti affermazioni sono entrambi vere o entrambi false:

1. p è un primo di Wagstaff, cioè  è primo;

2. p è della forma 2^k ± 1 o 4^k ± 3.

Un modo equivalente di esporre la congettura è che due affermazioni tra le precedenti e il fatto che M_p sia primo implicano la terza.

La congettura è stata verificata per tutti i primi inferiori a 12441900; molti ritengono che i primi che soddisfano le due condizioni siano in numero finito (e potrebbero essere già stati scoperti tutti) e che la congettura potrebbe essere solo una coincidenza, legata a un piccolo insieme di numeri.

 

Per anni si è speculato sul fatto che se p è un primo di Mersenne, M_p dovesse essere primo; nel XX secolo è stato finalmente trovato un controesempio: M₁₃ = 8191 è primo, ma M₈₁₉₁ non lo è.

Quando fu dimostrato che M₁₂₇ è primo, Catalan propose una particolare versione di questa congettura affermando che vale per la sequenza M₂, M₃, M₇, M₁₂₇, ciascuno dei quali ha come indice il numero precedente; in questa forma è nota come “congettura di Catalan – Mersenne”. Potrebbe trattarsi di una semplice coincidenza, come il fatto che i primi 4 numeri di Fermat siano primi; dato che il termine successivo ha oltre 10³⁸ cifre, una verifica diretta non è semplice, ma Landon Curt Noll verificò che non ha fattori primi inferiori a 5 • 10⁵⁰.

 

Considerando solo i primi p noti tali che M_p sia primo, solo 521 e 756839 sono maggiori della somma di tutti i primi inferiori; il fatto che i primi con tale proprietà siano infiniti o meno dipende dal fatto che i primi di Mersenne siano infiniti e da come siano distribuiti.

 

Nel 1979 James P. Jones dimostrò che i valori positivi che si ottengono sostituendo interi non negativi alle 13 variabili nel polinomio di grado 26 n(1 – (4b + 3 – n)² – b((2 + hn² – a)² + (n³d³(nd + 2)(h + 1)² + 1 – m²)² + (db + d + chn² + g(4a – 5) – kn)² + ((a² – 1)c² + 1 – k²n²)² + (4(a² – 1)i²c⁴ + 1 – f²)² + ((kn – lf)² – ((a + f²(f² – a))² – 1)(b + 1 + 2jc)² – 1)²)), sono tutti e soli i primi di Mersenne!

Le variabili possono essere ridotte a 7, ma al prezzo di portare il grado del polinomio a 914.

 

Sono noti anche vari primi della forma 2ⁿ – k; la seguente tabella mostra alcuni primi di tale forma.

k	Valori di n che producono un primo.
1	v. tabella dei primi di Mersenne
3	3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 14, 20, 22, 24, 29, 94, 116, 122, 150, 174, 213, 221, 233, 266, 336, 452, 545, 689, 694, 850, 1736, 2321, 3237, 3954, 5630, 6756, 8770, 10572, 14114, 14400, 16460, 16680, 20757, 26350, 30041, 34452, 36552, 42689, 44629, 50474
5	3, 4, 6, 8, 10, 12, 18, 20, 26, 32, 36, 56, 66, 118, 130, 150, 166, 206, 226, 550, 706, 810, 1136, 1228, 1818, 2368, 2400, 3128, 4532, 5112, 8492, 16028, 16386, 17392
7	39, 715, 1983, 2319, 2499, 3775, 12819
9	4, 5, 9, 11, 17, 21, 33, 125, 141, 243, 251, 285, 321, 537, 563, 699, 729, 2841, 3365, 8451, 8577, 9699, 9725
11	4, 6, 10, 18, 42, 78, 94, 114, 190, 322, 546, 3894
13	4, 5, 9, 13, 17, 57, 105, 137, 3217, 3229, 4233, 6097, 8757, 11457, 12073
15	5, 7, 8, 10, 14, 16, 23, 76, 95, 100, 158, 196, 235, 338, 620, 1646, 1850, 1891, 3833, 4394, 5194, 6017, 6070, 8824, 9955, 11399
17	6, 8, 12, 16, 18, 20, 22, 24, 32, 36, 42, 44, 96, 104, 152, 174, 198, 336, 414, 444, 468, 488, 664, 808, 848, 3632, 4062, 5586, 5904, 6348, 8628, 9224, 9916
19	5, 7, 11, 15, 19, 21, 31, 39, 67, 69, 85, 157, 171, 191, 255, 291, 379, 3669, 4551, 9531, 13119
21	5, 6, 7, 9, 11, 13, 14, 21, 23, 41, 46, 89, 110, 389, 413, 489, 869, 1589, 1713, 2831, 10843, 11257
23	6, 8, 12, 14, 18, 36, 68, 152, 212, 324, 1434, 1592, 1668, 3338, 7908, 9662

 

Tabelle numeriche

I primi 1000 numeri di Mersenne,
I primi 20 primi di Mersenne.

Vedi anche

Congetture sui numeri di Mersenne, Congetture sui numeri primi, Costante di Erdös – Borwein, Numeri di Eisenstein – Mersenne, Numeri di Mersenne doppi, Numeri di Mersenne gaussiani, Numeri pluriunitari, Numeri primi, Numeri sublimi.

Bibliografia

• Adler, Andrew;  Coury, John E.;  The Theory of Numbers: a Text and Source Book of Problems, Londra, Jones and Bartlett Publishers, 1995.
• Bach, Eric;  Shallit, Jeffrey;  Algorithmic Number Theory, MIT Press, 1997.
• Bressanini, Dario;  "In 200000 per scoprire un numero primo" in Le Scienze, Milano, n. 425, gennaio 2004, pag. 22 – 23.
• Eves, Howard W.;  Mathematical Circles, Mathematical Association of America, vol. III, 2003 -

  Una stupenda raccolta di aneddoti a sfondo matematico, pubblicati inizialmente con i titoli Mathematical Circles Adieu (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1977) e Return to Mathematical Circles (Prindle, Weber and Schmidt Inc., 1988).

• Giblin, Peter;  Primes and Programming, Cambridge University Press, 1993.
• Shanks, Daniel;  Solved and Unsolved Problems in Number Theory, New York, Chelsea Publishing Co, V ediz., 2002 -

  La prima edizione risale al 2002; il grande successo del libro ha motivato le successive edizioni, ampliate e rivedute alla luce di progressi fatti negli anni.

• Stewart, Ian;  Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities, Basic Books, 2009.
• Wells, David;  Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -

  Una miniera di informazioni sui numeri primi.

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