Cunningham definì nel 1894 “numeri completamente gradevoli” di ordine m in base b i numeri naturali n uguali alle ultime cifre della m-esima potenza in base b, ossia tali che nm ≡ n mod br, dove r è il numero di cifre di n, rappresentato in base b. Un numero è quindi completamente gradevole se è gradevole di grado r. Per esempio, 25 è completamente gradevole di ordine 2 in base 10, perché 252 = 625 termina con 25.
I numeri completamente gradevoli di ordine 2 sono i numeri automorfi.
I numeri completamente gradevoli di ordine 3 sono i numeri trimorfi.
Un intero n è completamente gradevole di ordine k in base b se e solo se b divide nk – n.
I numeri completamente gradevoli di k cifre terminano con un numero completamente gradevole di k – 1 cifre dello stesso ordine e nella stessa base, quindi se per un certo ordine e in una base fissata non ne esistono di una cifra, non ne esiste nessuno.
Un numero completamente gradevole di ordine k è anche completamente gradevole di ordine m(k – 1) + 1 nella stessa base e in particolare:
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tutti i numeri completamente gradevoli di ordine 2 (cioè automorfi) sono completamente gradevoli per tutti gli ordini nella stessa base;
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tutti i numeri completamente gradevoli di ordine 3 (cioè trimorfi) sono completamente gradevoli per tutti gli ordini dispari nella stessa base.
In ogni base b sono completamente gradevoli di tutti gli ordini dispari i numeri formati da sequenze di cifre b – 1 (per esempio, le sequenze di 9 in base 10).
Se n è un numero di r cifre completamente gradevole di ordine 2 in base 10, lo è anche 10r + 1 – n. Per esempio, 376 è completamente gradevole di ordine 2 in base 10 e quindi lo è anche 103 + 1 – 376 = 625.
Se n è un numero di r cifre completamente gradevole di ordine 3 in base 10, lo è anche 10r – n.
Se n è un numero completamente gradevole di ordine 2 in base 10, n – 1 è completamente gradevole di ordine 3 in base 10. Per esempio, 376 è completamente gradevole di ordine 2 in base 10 e 375 è completamente gradevole di ordine 3 in base 10.