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Il problema non si pone per solidi generici: un cilindro (o un parallelepipedo) abbastanza lungo e sottile può essere messo in contatto con un numero arbitrariamente grande di solidi identici.
Il problema è stato analizzato nel caso dei poliedri platonici sin da tempi antichi.
Aristotele (Stagira, Grecia, 384 a.C. – Calcide, Grecia, 322 a.C.) suggeriva che 12 tetraedri regolari con un vertice in comune riempiono lo spazio intorno a quel vertice; affermazione che può essere confutata con un minimo di geometria euclidea, ma venne difesa per secoli, come pure l’altra affermazione errata che sia possibile riempire lo spazio con tetraedri regolari identici (Sul Cielo, libro III).
L’affermazione di Aristotele venne ripresa da Simplicio (circa 490 – circa 560), Abu al-Walid Mohammad ibn Ahmad al Rushd, più noto come Averroé (Cordova, 1126 – Marrakesh, 10/12/1198), che aggiunse una sua dimostrazione (errata), Roger Bacon (Ilchester, UK, circa 1214 – Oxford, 1294) e altri.
Peter d’Auvergne (morto nel 1304), completando i commentari di Tommaso d’Aquino (Roccasecca, 1225 – Fossanova, 7/3/1274) di alcuni libri di Aristotele, fu il primo a mettere in dubbio l’affermazione del filosofo greco, seguito da Thomas Bradwardine (circa 1290 – 26/8/1349), ma solo nel XV secolo Johannes Müller von Königsberg, più noto come Regiomontano (Unfinden, Germania, 6/6/1436 – Roma 6/7/1476), e Paulus van Middelburg (1445 – 1534) la demolirono definitivamente.
E’ incredibile che un’affermazione tanto ovviamente assurda abbia resistito per diciotto secoli, quando è facile rendersi conto dell’errore: se congiungiamo i vertici di un icosaedro regolare al centro dello stesso, possiamo suddividere il solido in 20 tetraedri, con un vertice in comune. I tetraedri non sono regolari, ma bastano semplici calcoli per verificare che l’angolo solido che formano al centro è maggiore di quello al vertice di un tetraedro regolare: non solo 20 tetraedri regolari identici possono avere un punto in comune, ma intorno a quel punto avanza pure spazio. In effetti, come per le sfere, avanzerebbe abbastanza spazio da collocarne altri due e non è stato ancora rigorosamente dimostrato che il ventunesimo non possa essere aggiunto.
Si ritiene che il massimo numero di tetraedri regolari uguali che possono simultaneamente toccare uno identico sia 56, secondo la costruzione di E.R. Chen in quattro passi, pubblicata nel 2008:
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si uniscono 4 solidi uguali al tetraedro centrale, ciascuno con una faccia in comune con esso;
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intorno a ciascuno dei 6 spigoli di quello centrale si inseriscono altri 2 tetraedri, con uno spigolo in comune con quello centrale e una faccia in comune con uno di quelli aggiunti al passo precedente;
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a ciascun vertice del tetraedro centrale si uniscono i vertici di 6 nuovi tetraedri, ciascuno dei quali con una faccia in comune con quelli aggiunti al passo precedente;
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resta ancora abbastanza spazio per mettere in contatto ogni vertice del tetraedro centrale con un vertice di altri 4 solidi.
Se la congettura che il numero massimo di tetraedri identici con un vertice in comune sia 20 è vera, il totale di 56 non è migliorabile.
E’ stato dimostrato che se si richiede che i tetraedri siano orientati tutti allo stesso modo o che abbiano i centri in corrispondenza di punti di un reticolo regolare, il numero di tetraedri è 18.
Per il cubo il massimo numero di contatti con cubi uguali è 26, ottenibile costruendo un cubo di 3 × 3 × 3 cubi, intorno a quello centrale.
Per l’ottaedro regolare il massimo numero di contatti è 18, (D.G. Larman e Cuanming Zong, 1999). Vedendo l’ottaedro come due piramidi unite per la base quadrata, il cui piano chiameremo “orizzontale”, la costruzione consiste nel mettere un ottaedro a contatto per un vertice con ciascuna delle facce di quello centrale, senza oltrepassare i due piani orizzontali passanti per i vertici delle due piramidi. A ciascuno dei due vertici delle piramidi si possono quindi aggiungere altri 5 ottaedri, a contatto con un vertice, quattro dei quali con una faccia in comune col quinto centrale, che ha la base orizzontale e quindi si trova verticalmente sopra o sotto l’ottaedro di partenza.
Per icosaedro e dodecaedro regolari il massimo è 12, ottenibile con configurazioni analoghe a quelle delle sfere.
Se si considerano solo i contatti lungo un poligono, non un singolo punto o un segmento, il problema diviene più complicato e le migliori soluzioni note non sono state dimostrate essere le migliori possibili, salvo poche eccezioni.
Per il tetraedro regolare ho trovato una disposizione con 19 tetraedri identici a contatto con uno centrale.
Iniziamo con la disposizione mostrata nella figura seguente.
I triangoli costituiscono le basi di altrettanti tetraedri, quello giallo, che interpreteremo come avente il vertice rimanente in alto rispetto alla pagina, è quello centrale della disposizione in via di costruzione, gli altri, col vertice dalla parte opposta, costituiscono uno strato di base (alquanto instabile, perché sono appoggiati sulle punte).
I tre gruppi di 3 tetraedri colorati nella parte di sinistra possono ruotare un poco intorno ai vertici A, B e C del tetraedro giallo, dopodichè possono essere avvicinati leggermente al centro del tetraedro stesso, mentre il tetraedro direttamente sotto a quello giallo ruota leggermente, come mostrato nella parte destra della figura; in questo modo il tetraedro giallo può sovrapporsi leggermente agli altri 10 tetraedri.
Abbiamo quindi già 10 tetraedri a contatto con quello centrale e possiamo sfruttare ancora tre delle sue facce.
Sulla prima appoggiamo 4 tetraedri, come mostrato nella figura seguente.
Il tetraedro centrale, a contatto con gli altri 4, è mostrato ruotato, non appoggiato sulla base originale formata dai 10 tetraedri già piazzati.
Sulla penultima faccia disponibile possiamo disporre altri 3 tetraedri, come mostrato nella figura seguente.
I due tetraedri rossi che sporgono a destra si incastrano sotto i tetraedri più esterni della faccia precedente (in blu nel disegno); notate che il tetraedro di sinistra è leggermente sollevato rispetto a quello di destra.
Per finire, sull’ultima faccia aggiungiamo due tetraedri, come mostrato nella figura seguente.
Gli ultimi due tetraedri si incastrano sotto i tetraedri a contatto con le ultime due facce; in particolare, uno dei due sfrutta il piccolo rialzo del tetraedro rosso di sinistra della figura precedente.
Per i cubi la miglior configurazione nota, dovuta a Robert S. Holmes, permette di avere ben 24 cubi a contatto con quello centrale e non sembra migliorabile.
Per costruire la disposizione di Holmes si inizia con un cubo appoggiato su altri 7, come mostra la figura seguente, con i cubi visti dall’alto.
Il cubo verde non deve oltrepassare il piano che delimita a sinistra il cubo giallo, indicato dalla linea rossa.
A questo punto si ruotano in senso orario i tre gruppi di cubi di appoggio, sempre facendo in modo che quello verde non superi la linea rossa, come mostra la figura seguente.
In questo modo si può rendere la distanza d piccola a piacere. Si appoggiano quindi 7 altri cubi con la stessa configurazione sulla faccia superiore del cubo e si circondano tre delle facce rimanenti con altri 4 cubi, come mostra la figura seguente.
A questo punto una faccia del cubo (a sinistra) rimane ancora completamente libera, sebbene in piccola parte circondata da due cubi, uno al di sopra e uno al di sotto di essa, e su questa si possono disporre 6 cubi come mostra la figura seguente.
Il cubo in alto è in contatto con quello centrale lungo una striscia di spessore d molto piccolo, risultato della rotazione illustrata in precedenza. I restanti non sporgono oltre il piano passante per il margine inferiore della striscia e perpendicolare alla faccia del cubo centrale, per non interferire con i cubi in contatto con le facce superiore e inferiore.
Per l’ottaedro regolare la soluzione migliore che ho ottenuto è con 16 ottaedri identici: si inizia formando una “base” con 5 facce di altrettanti ottaedri a contatto con una faccia di quello centrale, come mostrato nella parte sinistra della figura.
Altri 5 ottaedri possono toccare la faccia opposta e restano libere 6 facce “laterali”, che possono toccare altrettanti ottaedri, come mostrato nella parte destra della figura. Questi ultimi ottaedri sono incastrati tra i due piani formati dalle “basi” sopra descritte, hanno una faccia a contatto con l’ottaedro centrale, capovolta rispetto alla faccia toccata, una a contatto con alcuni degli ottaedri di una base, un’altra a contatto con alcuni ottaedri dell’altra base; in questo modo si incastrano tra loro, sporgendo lateralmente, alternativamente in alto e in basso, rispetto facce dell’ottaedro centrale.
Per il dodecaedro regolare la soluzione è semplice: 12 dodecaedri identici possono contemporaneamente toccarne uno centrale, faccia contro faccia. Ciò non sorprende, dato che esattamente 12 sfere identiche possono essere messe simultaneamente a contatto con una sfera centrale, anche se il contatto nel caso delle sfere è forzatamente limitato a un punto.
L’angolo diedro formato da due facce adiacenti del dodecaedro è 
, di poco inferiore a 120°, quindi due dodecaedri appoggiati su facce adiacenti del dodecaedro centrale non si intersecano, ma lasciano un piccolo spiraglio tra loro.
Per l’icosaedro regolare non sembra si possano metterne due a contatto di due facce adiacenti dell’icosaedro centrale. Si può quindi arrivare a 8, scegliendo 8 delle 20 facce dell’icosaedro centrale, in modo che non ve ne siano due adiacenti, e appoggiando su esse altrettanti icosaedri, con una faccia in comune con quello centrale.
Bibliografia
- Conway, John Horton; Sloane, Neil J.A.; Sphere Packings, Lattices and Groups, New York, Springer-Verlag, terza ediz., 1999.
- Gardner, Martin; Enigmi e giochi matematici 6, Firenze, Sansoni, 1969 -
Traduzione di Martin Gardner’s New Mathematical Diversions from Scientific American, New York, Simon and Schuster, 1966.
- Gardner, Martin; The Colossal Book of Mathematics, New York, W.W. Norton & Company, 2001.
- Roberts, Joe; The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -
Una miniera di informazioni sugli interi.
- Szpiro, George G.; Kepler’s Conjecture, Hoboken, John Wiley & Sons, 2003.