Si chiamano “numeri di Cullen” Cn i numeri naturali della forma n2n + 1; sono quindi casi particolari di numeri di Proth.
Il nome è in onore del Reverendo J. Cullen (Drogheda, Irlanda, 19/4/1867 – 7/12/1933), che nel 1905 iniziò ad esaminarli, notando che dopo il primo, C1 = 3, i successivi 99 sono composti, con la possibile eccezione del cinquantatreesimo.
Poco dopo Cunningham stabilì che C53 è composto (è multiplo di 5591), come pure tutti i primi 200, con la possibile eccezione di C141.
Cominciava a prendere piede l’idea che fossero tutti composti, quando negli anni ’50 R.M. Robinson stabilì che C141 è primo.
Un primo di Cullen è un numero di Cullen primo; sinora se ne conoscono solo 13, corrispondenti ai seguenti valori di n: 1, 141 (R.M. Robinson), 4713 (Keller, 1984), 5795 (Keller, 1984), 6611 (Keller, 1984), 18496, 32292, 32469, 59656 (Young, 1997), 90825 (Young, 1997), 262419 (Darren G. Smith, 1998), 361275 (Darren G. Smith, 1998), 481899 (Morii, 1998), 1354828 (Rodenkirch, 2005), 6328548 (Dennis R. Gesker , 2009) e 6679881 (Magnum Bergman, 2009).
Cristopher Hooley dimostrò nel 1976 che quasi tutti i numeri di Cullen sono composti, ma non si sa ancora se i primi di Cullen siano infiniti, né se esista un primo p per il quale Cp sia primo.
Hiromi Suyama estese la dimostrazione a tutti i numeri della forma n2n + a + b, con a e b interi e in particolare ai numeri di Woodall.
La tabella seguente mostra i numeri di Cullen fino a C20.
|
n |
Cn |
|
0 |
1 |
|
1 |
3 |
|
2 |
9 |
|
3 |
25 |
|
4 |
65 |
|
5 |
161 |
|
6 |
385 |
|
7 |
897 |
|
8 |
2049 |
|
9 |
4609 |
|
10 |
10241 |
|
11 |
22529 |
|
12 |
49153 |
|
13 |
106497 |
|
14 |
229377 |
|
15 |
491521 |
|
16 |
1048577 |
|
17 |
2228225 |
|
18 |
4718593 |
|
19 |
9961473 |
|
20 |
20971521 |
La loro particolare forma permette di determinarne a priori alcuni fattori primi.
-
Cn è divisibile per p = 2n – 1, se p è un numero primo della forma 8k ± 3. Per esempio, C9 = 4609 è un multiplo di 2n – 1 = 19 e C15 = 491521 è un multiplo di 2n – 1 = 29.
-
Dato un primo dispari p, se il simbolo di Jacobi
è 1, ossia se 2 è un residuo quadratico modulo p, p divide 
, altrimenti p divide 
. Per esempio, 2 è un residuo quadratico modulo 7 e 7 divide C10, mentre 2 non è un residuo quadratico modulo 13 e 13 divide C7. -
Un primo p dispari divide tutti i numeri di Cullen Cm(k), con m(k) = (2k – k)(p – 1) – k per ogni k > 0. Per esempio, per p = 7 e k = 5 abbiamo m(k) = 68 e 7 divide C68.
-
Se un primo p divide Cn, divide anche tutti i numeri di Cullen Cn + a, dove
, se p è della forma 8k ± 1, a = p(p – 1) altrimenti. -
Un primo p dispari divide tutti i numeri di Cullen Cp + ka – 1 e Cp + ka – 2, con a definito come sopra, e in particolare divide Cp – 1 e Cp – 2.
-
Se p è un primo della forma
per qualche valore di k, allora Cn è divisibile per p. Per esempio, per n = 44 e k = 4 abbiamo p = 5 e C44 è divisibile per 5.
L’unico numero di Cullen che sia anche un numero di Proth è C1 = 3.
José María Grau Ribas e Florian Luca dimostrarono nel 2011 che nessun numero di Cullen è un numero di Lehmer, ovvero che φ(Cn) non divide Cn – 1.
Pedro Berrizbeitia, J.G. Fernandes, Marcos J. González, Florian Luca e V. Janitzio Mejía Huguetc dimostrarono nel 2012 che esistono infiniti numeri di Cullen che sono sia numeri di Riesel, sia numeri di Sierpiński.
La somma dei numeri di Cullen per n da 0 a k è (k – 1)2k + 1 + k + 2.
Tabelle numeriche
I numeri di Cullen fino a C100 e la loro scomposizione in fattori primi.Vedi anche
Numeri di Cullen generalizzati, Numeri di iper-Cullen di prima specie, Numeri di iper-Cullen di terza specie, Numeri di Woodall.Bibliografia
- De Koninck, Jean-Marie; Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -
Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.
- Wells, David; Prime Numbers, John Wiley & Sons, 2005 -
Una miniera di informazioni sui numeri primi.