Algebrici (numeri)

Algebra 

Si chiamano “algebrici” i numeri reali e complessi che sono radici di equazioni polinomiali a coefficienti interi.

 

Applicando le quattro operazioni e l’estrazione di radice a numeri algebrici, si ottengono sempre numeri algebrici (tranne nel caso di divisioni per zero e radici di ordine pari di numeri negativi).

 

I numeri algebrici sono un’infinità numerabile, cioè possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i naturali, e, a partire dal quinto grado, non tutti possono essere espressi per mezzo di operazioni elementari ed estrazioni di radice (teorema di Abel).

 

Si chiama grado di un numero algebrico il minimo grado di un’equazione polinomiale a coefficienti interi della quale il numero è soluzione. Per esempio,  è di grado 3, perché è soluzione dell’equazione x³ = 2 e di nessuna equazione di grado inferiore a coefficienti interi.

I numeri razionali (e solo questi) sono pertanto algebrici di grado 1, perché  è soluzione dell’equazione ax = b.

I numeri irrazionali e i numeri complessi con parte immaginaria diversa da zero sono algebrici di grado maggiore di uno o trascendenti.

 

Se , con m e n interi, sinα e cosα sono algebrici di grado al massimo n (e quindi anche tanα, se non è infinito). In altre parole sono numeri algebrici i valori delle funzioni trigonometriche di angoli esprimibili in gradi come numeri razionali. Il loro grado è maggiore di 1, con le sole eccezioni degli angoli per i quali seno o coseno valgono 0, 1 o . Per angoli minori di  i soli valori di grado 1 sono quindi: sin0 = sin0° = 0, cos0 = cos0° = 1, tan0 = tan0° = 0, ,  e .

 

Se α è algebrico, il teorema di Thue – Siegel – Roth assicura che per qualsiasi ε maggiore di zero vi è al massimo un numero finito di coppie di interi a e b primi tra loro tali che (v. numeri di Liouville).

 

Un teorema dimostrato da Dirichlet assicura comunque che anche i numeri algebrici si possono approssimare “abbastanza bene” con numeri razionali, anzi se ne possono approssimare simultaneamente tanti con frazioni con lo stesso denominatore; il teorema, infatti, afferma che dati k numeri irrazionali α₁, α₂, … α_k e un intero positivo n, esistono interi p₁, p₂, … p_k e q, tali che 0 < q ≤ n e  per m da 1 a k.

Vedi anche

Numeri, Numeri complessi, Numeri esprimibili mediante radici, Numeri irrazionali, Numeri razionali, Numeri reali, Numeri trascendenti.

Bibliografia

• Niven, Ivan;  Rational and Irrational, The Mathematical Association of America, 1961.

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