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Reali (numeri)

Algebra  Analisi 

I numeri reali sono i numeri utilizzabili per misurare un insieme continuo, come le lunghezze dei segmenti. Questa semplice definizione è in realtà fonte di equivoci e uno dei grandi risultati della matematica del XIX secolo fu di dare una sistemazione molto più rigorosa, tramite le sezioni di Dedekind e le classi di equivalenza di successioni di Cauchy.

 

Il termine “reale” fu introdotto nel XVII secolo da Cartesio nel trattare le radici di un polinomio, in contrapposizione a “immagnario”.

 

I numeri reali si dividono in razionali e irrazionali e questi ultimi in algebrici e trascendenti e costituiscono un campo, archimedeo completo e totalmente ordinato, comunemente indicato con ℝ.

Il significato dei termini usati necessita qualche precisazione:

  • un campo è archimedeo se non contiene due elementi non nulli non confrontabili; in termini più semplici, se non contiene elementi infiniti o infinitesimi, ma non nulli;

  • uno spazio metrico è completo se contiene il limite cui tende ogni successione di Cauchy di elementi;

  • un campo è totalmente ordinato se, dati due elementi distinti a e b, vale una della due relazioni a > b o b > a.

 

I reali non costituiscono un campo algebricamente chiuso, perché le equazioni a coefficienti reali possono avere soluzioni che non sono reali, ma complesse.

 

Nel 1873 Cantor dimostrò che i numeri razionali e i numeri algebrici sono “tanti quanti” i numeri naturali, nel senso che possono essere messi in corrispondenza biunivoca (uno a uno) con gli interi positivi, mentre i numeri reali sono “di più”, nel senso che non si possono mettere in corrispondenza biunivoca con gli interi.

Questa scoperta richiese di precisare un ordinamento tra diversi “infiniti”, e l’introduzione di una notazione apposita. Cantor introdusse la notazione א0 (aleph-0, dalla prima lettera dell’alfabeto ebraico) per indicare l’infinito degli interi, detto anche “numerabile”, e א1 per indicare l’infinito imediatamente successivo, mentre quello dei reali è detto “continuo”. Restava da chiarire se esistano insiemi non numerabili (ossia che non si possano mettere in corrispondenza biunivoca con l’insieme degli interi), ma tali che l’insieme dei reali non possa essere messo in corrispondenza biunivoca con essi: in altre parole, se esistano insiemi con “più elementi” degli interi, ma “meno” dei reali overo se א1 coincida col continuo.

Questa ipotesi, detta “ipotesi del continuo” ha resistito ai tentativi di dimostrazione per oltre un secolo.

Il più importante risultato nel campo è che l’ipotesi del continuo è indipendente dagli assiomi di Zermelo – Fraenkel, se questa teoria è consistente. Infatti Kurt Gödel dimostrò che l’ipotesi del continuo è coerente con la teoria degli insiemi, ma Paul Cohen dimostrò nel 1963 che lo è anche la sua negazione.

La situazione assomiglia a quella del quinto postulato di Euclide: in geometria si possono costruire geometrie consistenti sia accettandolo, sia negandolo; nella teoria degli insiemi si possono costruire teorie consistenti sia accettando l’ipotesi del continuo, sia negandola.

 

La sequenza delle parti frazionarie delle potenze dei numeri irrazionali maggiori di 1 è equidistribuita per quasi tutti i reali, vale a dire che se si calcolano le potenze successive x, x2, x3, x4… di un reale e se ne prende la parte frazionaria, la probabilità di trovare una potenza in un intervallo qualsiasi tra 0 e 1 è proporzionale alla lunghezza dell’intervallo e non ci sono intervalli “favoriti”.

Fanno naturalmente eccezione le radici dei numeri razionali, che periodicamente danno potenze del numero razionale, e le loro somme.

Vi sono anche altre eccezioni, come il rapporto argenteo, nonostante abbia potenze tutte irrazionali, perché tutte le potenze hanno la forma Forma generale delle potenze del rapporto argenteo e quindi le loro parti frazionarie sono quelle dei multipli di Radice quadrata di 2, che a differenza delle potenze non sono equidistribuiti.

Bibliografia

  • Pickover, Clifford A.;  Il liβro della mαtematica, Modena, Logos, 2012 -

    Trad. di The Math Book, Sterling Publishing Co., Inc., 2009

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