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Trascendenti (numeri)

Algebra  Vari 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Classificazione dei numeri trascendenti

Si chiamano “trascendenti” i numeri reali e complessi che non sono radici di equazioni polinomiali a coefficienti interi, ossia non sono algebrici.

Sembra che Leibniz sia stato il primo a utilizzare questa espressione, nel 1682, ma spetta a Eulero il merito di averli definiti formalmente.

 

La loro esistenza rimase tuttavia a lungo dubbia, fino a quando Liouville nel 1844 per primo ne costruì alcuni esempi, dimostrando che alcuni numeri, definiti per l’occasione, ma altrimenti privi di interesse (v. numeri di Liouville) sono trascendenti.

 

Charles Hermite (Dieuze, Francia, 24/12/1822 – Parigi, 14/1/1901)  nel 1873 dimostrò che e è trascendente: fu il primo numero interessante, ossia già noto e matematicamente importante, a essere dimostrato trascendente, seguito nel 1882 da π, a opera di Carl Louis Ferdinand von Lindemann (Hannover, Germania, 4/12/1852 – Monaco, Germania, 6/3/1939).

 

La dimostrazione della trascendenza dei numeri della forma xy, con x algebrico e diverso da 0 e 1 e y irrazionale, costituiva il settimo problema di Hilbert e venne trovata nel 1934 da Aleksandr Gelfond e Theodor Schneider. Da notare che se x è trascendente, xy, può essere algebrico e addirittura intero, come dimostra il caso x = sqrt(2) ^ sqrt(2), y = sqrt(2), per il quale si ha xy = 2.

Nel 1966 Alan Baker estese la dimostrazione, provando che sono trascendenti i numeri della forma Forma dei numeri dimostrati trascendenti da Alan Baker, se i vari an e bn sono algebrici, i vari bn sono irrazionali e razionalmente indipendenti (ossia tali che nessuno di essi possa essere ottenuto come somma degli altri, moltiplicati per numeri razionali) e i vari an sono diversi da 0 e 1.

Nel 2004 G. Diaz dimostrò che se x è algebrico e non reale o immaginario puro e t è reale diverso da zero, etx è trascendente.

 

Nel 1936 Turing escogitò una dimostrazione straordinariamente semplice dell’esistenza di infiniti numeri trascendenti: dato che i numeri computabili sono un’infinità numerabile e includono i numeri algebrici, i restanti numeri reali e complessi, che sono un’infinità non numerabile, sono trascendenti.

 

Sebbene i numeri trascendenti siano infiniti e in un certo senso “di più” dei numeri algebrici (si possono infatti mettere in corrispondenza biunivoca con tutti i sottoinsiemi degli interi, come dimostrò Cantor nel 1874), dimostrare che uno specifico numero è trascendente è di solito molto difficile.

 

Si sa che sono trascendenti alcune famiglie infinite di numeri:

  • i numeri di Liouville (Liouville, 1844); il primo caso di numeri dimostrati trascendenti;

  • i numeri non computabili e in particolare il numero Ω di Chaitin;

  • λ + π e λ + ex, se λ è un numero di Liouville e x è un numero algebrico diverso da zero;

  • sina, cosa, tana, sinha, cosha, tanha se a è algebrico e diverso da 0 (Hermite, 1873) e in particolare il numero di Dottie;

  • loga, se a è algebrico e diverso da 0 e 1 (Hermite, 1873);

  • i numeri esprimibili come Forma dei numeri dimostrati trascendenti da F. von Lindemann, con i vari ak algebrici e diversi da zero e i vari bk algebrici e diversi tra loro, inclusi in particolare e e π, (F. von Lindemann, 1882);

  • ζ(2n), con n intero maggiore di 1 (questi numeri sono multipli razionali di potenze di π, quindi la loro trascendenza deriva dalla trascendenza di π);

  • π + loga, se a è algebrico e diverso da 0;

  • Forma dei numeri dimostrati trascendenti da Nesterenko, con n intero non nullo (Y. Nesterenko, 1999);

  • Forma dei numeri dimostrati trascendenti da Margolius, per x razionale e diverso da 0, 1 e –1 e in particolare la costante di Plouffe (B.H. Margolius, 2002);

  • Forma di numeri dimostrati trascendenti, con a e b interi tali che non esistano esponenti interi m e n per i quali am = bn, e in particolare log(3) / log(2);

  • i numeri della forma xy, con x algebrico e diverso da 1 e 0 e y algebrico e irrazionale, come la costante di Gelfond – Schneider; come conseguenza sono trascendenti le soluzioni non intere dell’equazione xx = n, se n è intero;

  • W(a), se a è algebrico e diverso da zero, e in particolare ω = W(1);

  • ψ(p / q), con p e q interi primi tra loro e 1 ≤ p < q, tranne al massimo un’eccezione (che nessuno crede possa esistere (M. Ram Murty e N. Saradha, 2007);

  • ψ(p / q) + γ, con p e q interi primi tra loro e 1 ≤ p < q (P. Bundschuh, 1979);

  • le frazioni continue della forma Forma dei numeri dimostrati trascendenti da Knuth, dove a è un intero maggiore di 1 e gli esponenti sono i numeri di Fibonacci (Donald Ervin Knuth, 1964) (v. costante dei conigli);

  • i numeri esprimibili come Forma di numeri dimostrati trascendenti, se i vari ak e bk sono numeri algebrici, diversi da zero;

  • i numeri esprimibili come Forma dei numeri dimostrati trascendenti da Alan Baker, con tutti gli an algebrici e diversi da 0 e tutti i bn algebrici e diversi da 1, se non esistono numeri razionali qn tali che Condizione che non deve valere perché i numeri siano trascendentiCondizione che non deve valere perché i numeri siano trascendenti (Alan Baker, 1966);

  • i numeri esprimibili come Forma di numeri dimostrati trascendenti, dove β > 1 e in particolare Numero dimostrato trascendente;

  • i numeri esprimibili come Forma dei numeri dimostrati trascendenti da Schneider, per n intero e maggiore di 1 (T. Schneider, 1957);

  • i numeri esprimibili come Forma di numeri dimostrati trascendenti, con s e d interi maggiori di 1; il caso s = 2 fu dimostrato da Mahler nel 1929; più in generale i numeri esprimibili come Forma di numeri dimostrati trascendenti, dove d è un intero maggiore di 1, f è una sequenza di interi positivi tale che Condizione necessaria perché i numeri siano trascendenti, r è razionale diverso da zero e c è una sequenza di interi, infiniti dei quali diversi da zero e tali che |cn| < Cn, per una costante C non inferiore a 1;

  • i numeri esprimibili come Forma di numeri dimostrati trascendenti, con b e c maggiori di 1, b algebrico e c intero, e in particolare i numeri di Stoneham (la dimostrazione si ottiene con i metodi di Mahler);

  • i numeri esprimibili come Forma di numeri dimostrati trascendenti, se b e c sono maggiori di 1, mk e nk sono sequenze di interi strettamente crescenti, le differenze dk = nknk – 1 tra termini successivi della sequenza nk sono non decrescenti, esistono una costante γ > 1 / 2 e δ > 2 tali che (m(k) – m(k – 1)) / c^(γ * n(k)) ≥ (m(k – 1) – m(k – 2)) / c^(γ * n(k – 1)) e (n(k + 1) + log(b) / log(c) *m(k + 1)) / (n(k) + log(b) / log(c) *m(k)) > δ, per k abbastanza grande (David H. Bailey e Richard E. Crandall, 2003);

  • i numeri esprimibili come Forma di numeri dimostrati trascendenti, dove q0 = 1, q1 = a0 e qn = qn – 2(an – 1qn – 1 + 1) per n > 1 e i vari an sono una qualsiasi successione di interi positivi (questo include le costanti di Davison – Shallit e di Cahen come casi particolari).

 

Inoltre sono state dimostrate trascendenti alcune costanti:

  • π (F. von Lindemann, 1882);

  • e (Hermite, 1873);

  • π + eπ;

  • Numero dimostrato trascendente da Alan Baker (Alan Baker, 1970);

  • ii, perché i è algebrico, ma irrazionale, quindi vale il teorema di Gelfond;

  • ω = W(1);

 

Se si somma, sottrae, moltiplica o divide una coppia di numeri, uno trascendente e l’altro algebrico, si ottiene un numero trascendente, come pure se si estrae una radice con indice intero di un numero trascendente, quindi π + 2, π2sqrt(π) sono trascendenti, ma se si sommano o moltiplicano numeri trascendenti differenti tra loro o se si eleva un numero trascendente a una potenza irrazionale, non è detto che il risultato lo sia: per esempio, non è noto se π + e, πe, 2e e 2π siano trascendenti, di questi in particolare non è stata neppure dimostrata l’irrazionalità, per non parlare di ππ.

 

Se a e b sono trascendenti e distinti, almeno uno tra a + b e ab è trascendente, perché se nessuno dei due lo fosse, l’equazione x2 – (a + b)x + ab = 0 avrebbe per radici due numeri algebrici, ma le radici sono a e b, entrambi trascendenti. Per esempio, almeno uno tra π + e e πe è trascendente.

 

Se Serie infinita di numeri razionali è una serie convergente di numeri razionali ridotti ai minimi termini, con i denominatori bn che formano una sequenza crescente, bn divide bn + 1 ed esiste un numero positivo ε tale che Condizione sufficiente perché la serie converga a un numero trascendente per n sufficientemente grande, la serie converge a un numero trascendente.

Da questo teorema si deduce facilmente la trascendenza di vari numeri definiti tramite serie, come il numero di Liouville e Serie infinita convergente a un numero trascendente.

 

Se la parte reale o quella immaginaria di un numero complesso sono trascendenti, il numero è trascendente.

Kanakanahalli Ramachandra dimostrò che se a e b sono numeri reali algebrici maggiori di 1, tali che log(a) / log(b) sia irrazionale e a < b < 1 / a, almeno uno dei numeri Formula per la definizione di xFormula per la definizione di y è trascendente, di conseguenza x + iy è trascendente.

 

Se α è trascendente, il teorema di Thue – Siegel – Roth assicura che per qualsiasi ε maggiore di zero vi è un numero infinito di coppie di interi a e b primi tra loro tali che Formula per il teorema di Thue – Siegel – Roth (v. numeri di Liouville).

 

Un interessante teorema, detto “teorema dei sei esponenziali”, dovuto a Siegel, Schneider, Serge Lang (Parigi, 19/5/1927 – Berkeley, USA, 12/9/2005) e Kanakanahalli Ramachandra (Mandya, India, 18/8/1933 – 17/1/2011), assicura che, dati due insiemi di numeri reali (x1, x2) e (y1, y2, y3), razionalmente indipendenti (ossia tali che nessuno possa essere ottenuto come somma degli altri dello stesso insieme, moltiplicati per numeri razionali), almeno uno dei numeri ex1y1, ex1y2, ex1y3, ex2y1, ex2y2, ex2y3 è trascendente.

Si ritiene che l’affermazione resti valida se il secondo insieme ha solo due elementi (y1, y2), vale a dire che almeno uno dei numeri ex1y1, ex1y2, ex2y1, ex2y2 sia trascendente, ma non è stato provato. L’affermazione è infatti nota come “congettura dei quattro esponenziali”.

Il teorema, detto “teorema dei cinque esponenziali” assicura che, dati due insiemi di numeri reali (x1, x2) e (y1, y2), razionalmente indipendenti e un numero algebrico non nullo γ, almeno uno dei numeri ex1y1, ex1y2, ex2y1, ex2y2e^(γ * x1 / x2) è trascendente.

La congettura analoga detta “dei tre esponenziali” afferma che dati tre numeri complessi non nulli x1, x2 e y e un numero algebrico γ, almeno uno dei numeri ex1y, ex2ye^(γ * x1 / x2) è trascendente.

 

Chiamando L l’insieme dei numeri esprimibili come combinazioni algebriche di numeri algebrici e logaritmi di numeri algebrici, cioè come Combinazione razionale di numeri algebrici e logaritmi di numeri algebrici, con i vari αk e βk algebrici, anche complessi, Michel Waldschmidt dimostrò nel 2003; che dal teorema dei sei esponenziali derivano alcuni corollari notevoli:

  • se x e y appartengono a L, e 1, x e y sono algebricamente indipendenti, cioè uno non può essere ottenuto come somma degli altri, moltiplicati per numeri algebrici, almeno uno dei numeri 1 / x e y / x non appartiene a L e quindi è trascendente;

  • se x, y e z appartengono a L, x è trascendente e x, y e z sono algebricamente indipendenti, almeno uno dei numeri y / xz / x non appartiene a L e quindi è trascendente;

  • se x, y e z sono trascendenti, appartengono a L e 1, y e z sono algebricamente indipendenti, almeno uno dei numeri xy e xz non appartiene a L e quindi è trascendente;

  • se x, y e z sono trascendenti, appartengono a L, y / x è trascendente e 1, y e z sono algebricamente indipendenti, almeno uno dei numeri y / xyz / x non appartiene a L e quindi è trascendente;

  • se x, y, w e z appartengono a L, y / x è trascendente e x, w e z sono algebricamente indipendenti, almeno uno dei numeri yw / xyz / x non appartiene a L e quindi è trascendente;

  • se x e y appartengono a L, x non è trascendente e non è reale o immaginario puro; e 1, yy sono algebricamente indipendenti, xy non appartiene a L e quindi è trascendente (già dimostrato da G. Diaz);

  • se x e y appartengono a L, x non è trascendente e non è reale o immaginario puro; e x, yy sono algebricamente indipendenti, y / x non appartiene a L e quindi è trascendente;

  • se x, y e z appartengono a L, x e y sono reali o immaginari puri, x è diverso da zero, y / x è trascendente e x, z e sono algebricamente indipendenti, yz / x non appartiene a L e quindi è trascendente.

 

Una versione più forte del teorema afferma che dati due insiemi di numeri (x1, x2) e (y1, y2, y3), razionalmente indipendenti e 6 numeri algebrici β1, 1, β1, 2, β1, 3, β2, 1, β2, 2, β2, 3, se i 6 numeri ex1y1 – β1, 1, ex1y2 – β1, 2, ex1y3 – β1, 3, ex2y1 – β2, 1, ex2y2 – β2, 2, ex2y3 – β2, 3 sono algebrici, allora x1y1 = β1, 1, x1y2 = β1, 2, x1y3 = β1, 3, x2y1 = β2, 1, x2y2 = β2, 2, x2y3 = β2, 3, ossia i 6 esponenti sono nulli. Anche in questo caso esistono congetture analoghe per il caso di 3 (v. congettura dei tre esponenziali), 4 (v. congettura dei quattro esponenziali) e 5 esponenziali (v. congettura dei cinque esponenziali).

Una conseguenza di questa forma della congettura è che se λ = logz è il logaritmo non nullo di un numero algebrico z, almeno uno tra eλ2 e eλ3 è trascendente. Infatti, per x1 = y1 = 1, x2 = y2 = λ, y3 = λ2, β1, 1 = 1, β1, 2 = β2, 1 = β2, 2 = β2, 2 = β2, 3, = 0 abbiamo i 6 numeri e0 = 1, eλ = z, eλ2, eλ = z, eλ2, eλ3 e dato che gli altri quattro sono algebrici, almeno uno tra eλ2 e eλ3 è trascendente. In particolare, dato che iπ = log(–1), almeno uno tra eπ2 e eπ3 è trascendente.

 

Una versione ancora più forte, nota anche come “forma forte” del teorema, dalla quale seguono le altre due, afferma che dati due insiemi di numeri (x1, x2) e (y1, y2, y3), razionalmente indipendenti, almeno uno dei numeri x1y1, x1y2, x1y3, x2y1, x2y2, x2y3 non è esprimibile come combinazione razionale di numeri algebrici e logaritmi di numeri algebrici (D. Roy, 1992). Anche in questo caso esistono congetture analoghe per il caso di 3 (v. congettura dei tre esponenziali), 4 (v. congettura dei quattro esponenziali) e 5 esponenziali (v. congettura dei cinque esponenziali).

 

Si suppone che varie costanti siano trascendenti, ma le dimostrazioni sembrano difficilissime da costruire; tra i più probabili candidati vi sono:

Si suppone anche che tutti i numeri che abbiano uno sviluppo come frazione continua semplice con termini limitati e non periodici siano trascendenti.

Bibliografia

  • Baker, Alan;  Trascendental Numbers Theory, Londra, Cambridge University Press, 1975.
  • Chaitin, Gregory;  Metamaths, Londra, Atlantic Books, 2007.
  • Gray, Jeremy J.;  The Hilbert Challenge, Oxford, Oxford University Press,, 2000.
  • Lang, S.;  Introduction to Trascendental Numbers, Reading, Addison-Wesley, 1966.
  • Niven, Ivan;  Numbers: Rational and Irrational, The Mathematical Association of America, 1961.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  La matematica del Novecento: dagli insiemi alla complessità, Torino, Einaudi, 2000.
  • Siegel, C.L.;  Trascendental Numbers, Princeton, Annals of Mathematical Studies 16, 1949.
  • Stillwell, John;  Yearning for the Impossible, A.K. Peters, 2006.

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