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Trascendenti (numeri)

Algebra  Vari 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Numeri dimostrati trascendenti
  3. 3. Classificazione dei numeri trascendenti

Si sa che sono trascendenti alcune famiglie infinite di numeri:

  • i numeri di Liouville (Liouville, 1844); il primo caso di numeri dimostrati trascendenti;

  • i numeri non computabili e in particolare il numero Ω di Chaitin;

  • λ + π e λ + ex, se λ è un numero di Liouville e x è un numero algebrico diverso da zero;

  • sina, cosa, tana, sinha, cosha, tanha se a è algebrico e diverso da 0 (Hermite, 1873) e in particolare il numero di Dottie;

  • loga, se a è algebrico e diverso da 0 e 1 (Hermite, 1873);

  • i numeri esprimibili come Forma dei numeri dimostrati trascendenti da F. von Lindemann, con i vari ak algebrici e diversi da zero e i vari bk algebrici e diversi tra loro, inclusi in particolare e e π, (F. von Lindemann, 1882);

  • ζ(2n), con n intero maggiore di 1 (questi numeri sono multipli razionali di potenze di π, quindi la loro trascendenza deriva dalla trascendenza di π);

  • π + loga, se a è algebrico e diverso da 0;

  • Forma dei numeri dimostrati trascendenti da Nesterenko, con n intero non nullo (Y. Nesterenko, 1999);

  • Forma dei numeri dimostrati trascendenti da Margolius, per x razionale e diverso da 0, 1 e –1 e in particolare la costante di Plouffe (B.H. Margolius, 2002);

  • Forma di numeri dimostrati trascendenti, con a e b interi tali che non esistano esponenti interi m e n per i quali am = bn, e in particolare log(3) / log(2);

  • i numeri della forma xy, con x algebrico e diverso da 1 e 0 e y algebrico e irrazionale, come la costante di Gelfond – Schneider; come conseguenza sono trascendenti le soluzioni non intere dell’equazione xx = n, se n è intero;

  • le costanti di Eulero – Lehmer γ(a, q), con al più una eccezione (M. Ram Murty e N. Saradha 2010);

  • W(a), se a è algebrico e diverso da zero, e in particolare ω = W(1);

  • ψ(p / q), con p e q interi primi tra loro e 1 ≤ p < q, tranne al massimo un’eccezione (che nessuno crede possa esistere (M. Ram Murty e N. Saradha, 2007);

  • ψ(p / q) + γ, con p e q interi primi tra loro e 1 ≤ p < q (P. Bundschuh, 1979);

  • le frazioni continue della forma Forma dei numeri dimostrati trascendenti da Knuth, dove a è un intero maggiore di 1 e gli esponenti sono i numeri di Fibonacci (Donald Ervin Knuth, 1964) (v. costante dei conigli);

  • i numeri esprimibili come Forma di numeri dimostrati trascendenti, se i vari an e bn sono algebrici, i vari bn sono irrazionali e razionalmente indipendenti (ossia tali che nessuno di essi possa essere ottenuto come somma degli altri, moltiplicati per numeri razionali) e i vari an sono diversi da 0 e 1 (Alan Baker, 1966);;

  • i numeri della forma Γ(a) * Γ(b) / Γ(a + b), con a e b razionali, ma non interi (T. Schneider, 1941) e in particolare Γ(1 / 4) * Γ(1 / 2) / Γ(3 / 4) = Γ(1 / 4)^2 / sqrt(2 * π) e Γ(1 / 3) * Γ(1 / 2) / Γ(5 / 6) = sqrt(3) * Γ(1 / 3)^3 / (16^(1 / 3) * π);

  • i numeri esprimibili come Forma dei numeri dimostrati trascendenti da Alan Baker, con tutti gli an algebrici e diversi da 0 e tutti i bn algebrici e diversi da 1, se non esistono numeri razionali qn tali che Condizione che non deve valere perché i numeri siano trascendentiCondizione che non deve valere perché i numeri siano trascendenti (Alan Baker, 1966);

  • i numeri esprimibili come Forma di numeri dimostrati trascendenti, se a0 non è zero, i vari a1, a2, … an sono algebrici e i vari b1, b2, … bn sono algebrici e maggiori di zero

  • i numeri esprimibili come Forma di numeri dimostrati trascendenti da Lindemann, se i vari a1, a2, … an sono algebrici e non tutti nulli e i vari b1, b2, … bn sono algebrici e distinti (Lindemann);

  • i numeri esprimibili come Forma di numeri dimostrati trascendenti da M. Ram Murty e N. Saradha, con a e q interi e 0 < a < q(M. Ram Murty e N. Saradha, 2007);

  • i numeri esprimibili come Serie infinita di numeri razionali, se i vari an e bn sono interi, le frazioni sono ridotte ai minimi termini, i denominatori bn che formano una sequenza crescente, bn divide bn + 1 ed esiste un numero positivo ε tale che Condizione sufficiente perché la serie converga a un numero trascendente per n sufficientemente grande; da questo teorema si deduce facilmente la trascendenza di vari numeri definiti tramite serie, come il numero di Liouville e Serie infinita convergente a un numero trascendente;

  • i numeri esprimibili come Forma di numeri dimostrati trascendenti, dove β > 1 e in particolare Numero dimostrato trascendente;

  • i numeri esprimibili come Forma di numeri dimostrati trascendenti, con s e d interi maggiori di 1; il caso s = 2 fu dimostrato da Mahler nel 1929; più in generale i numeri esprimibili come Forma di numeri dimostrati trascendenti, dove d è un intero maggiore di 1, f è una sequenza di interi positivi tale che Condizione necessaria perché i numeri siano trascendenti, r è razionale diverso da zero e c è una sequenza di interi, infiniti dei quali diversi da zero e tali che |cn| < Cn, per una costante C non inferiore a 1;

  • i numeri esprimibili come Forma di numeri dimostrati trascendenti, con b e c maggiori di 1, b algebrico e c intero, e in particolare i numeri di Stoneham (la dimostrazione si ottiene con i metodi di Mahler);

  • i numeri esprimibili come Forma di numeri dimostrati trascendenti, se b e c sono maggiori di 1, mk e nk sono sequenze di interi strettamente crescenti, le differenze dk = nknk – 1 tra termini successivi della sequenza nk sono non decrescenti, esistono una costante γ > 1 / 2 e δ > 2 tali che (m(k) – m(k – 1)) / c^(γ * n(k)) ≥ (m(k – 1) – m(k – 2)) / c^(γ * n(k – 1)) e (n(k + 1) + log(b) / log(c) *m(k + 1)) / (n(k) + log(b) / log(c) *m(k)) > δ, per k abbastanza grande (David H. Bailey e Richard E. Crandall, 2003);

  • i numeri esprimibili come Forma di numeri dimostrati trascendenti, dove q0 = 1, q1 = a0 e qn = qn – 2(an – 1qn – 1 + 1) per n > 1 e i vari an sono una qualsiasi successione di interi positivi (questo include le costanti di Davison – Shallit e di Cahen come casi particolari);

  • i numeri esprimibili come Forma di numeri dimostrati trascendenti, dove an è una sequenza trascendente e i vari bn sono interi maggiori di zero.

  • i numeri esprimibili come Forma di numeri dimostrati trascendenti, con x razionale e 0 < |x| < 1 (KH. Hessami Pilehrood e T. Hessami Pilehrood);

  • i numeri esprimibili come Forma di numeri dimostrati trascendenti, dove P(x) è un polinomio a coefficienti razionali di grado m – 1, x è intero, i vari αk sono razionali distinti, non nulli e non uguali a interi negativi e le differenze tra ogni coppia di essi sono interi pari (KH. Hessami Pilehrood e T. Hessami Pilehrood);

  • i numeri esprimibili come Forma di numeri dimostrati trascendenti, dove P(x) è un polinomio a coefficienti razionali di grado non superiore a 2m – 2, P(–x) = P(xa), 4b > a2 e a, b e x sono interi (KH. Hessami Pilehrood e T. Hessami Pilehrood), e in particolare i numeri esprimibili come Forma di numeri dimostrati trascendenti, dove k < m, 4b > a2 e a, b, c e x sono interi;

  • i numeri esprimibili come Forma di numeri dimostrati trascendenti, dove P(x) è un polinomio a coefficienti razionali di grado minore di 2m, P(–x) = (–1)aP(xa), 4b > a2 e a, b e x sono interi (KH. Hessami Pilehrood e T. Hessami Pilehrood), e in particolare i numeri esprimibili comeForma di numeri dimostrati trascendenti, dove k < 2m, 4b > a2, a, b e x sono interi e a e k hanno la stessa parità;

  • i numeri esprimibili come Forma di numeri dimostrati trascendenti, dove Simbolo di Jacobi (q | n) è il simbolo di Jacobi, 4b > q2r2 e b, q, r e x sono interi (KH. Hessami Pilehrood e T. Hessami Pilehrood).

 

Inoltre sono state dimostrate trascendenti alcune costanti:

Bibliografia

  • Baker, Alan;  Trascendental Numbers Theory, Londra, Cambridge University Press, 1975.
  • Chaitin, Gregory;  Metamaths, Londra, Atlantic Books, 2007.
  • Gray, Jeremy J.;  The Hilbert Challenge, Oxford, Oxford University Press,, 2000.
  • Lang, S.;  Introduction to Trascendental Numbers, Reading, Addison-Wesley, 1966.
  • Niven, Ivan;  Numbers: Rational and Irrational, The Mathematical Association of America, 1961.
  • Odifreddi, Piergiorgio;  La matematica del Novecento: dagli insiemi alla complessità, Torino, Einaudi, 2000.
  • Siegel, C.L.;  Trascendental Numbers, Princeton, Annals of Mathematical Studies 16, 1949.
  • Stillwell, John;  Yearning for the Impossible, A.K. Peters, 2006.

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