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Feigenbaum (costanti di)

Analisi  Vari 

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Approssimazioni

Le costanti di Feigenbaum devono il loro nome allo scopritore: Mitchell Jay Feigenbaum.

 

Se prendiamo la sequenza generata iterando la ricorrenza (detta logistica) an + 1 = kan(1 – an) con valore iniziale a(0) = 1 / 2, notiamo che per k < k1 = 3 an converge a Limite cui tende la sequenza, mentre per valori superiori, sino a Limite per k entro il quale la sequenza oscilla tra due soli valori oscilla tra i due valori: Valori tra i quali la sequenza oscilla. Per valori di k ancora superiori, ma inferiori a k3 (soluzione di un’equazione polinomiale a coefficienti interi di grado 12) oscilla tra 4 valori differenti. Al crescere di k i valori diventano 8 (in corrispondenza della soluzione k4 di un’equazione polinomiale a coefficienti interi di grado 240), poi 16 e continuano a raddoppiare in corrispondenza di vari kn, finché il comportamento diviene completamente caotico.

Il limite al quale tende la sequenza dei kn è k ≈ 3.5699456719, come scoprirono nel 1975 Tien-Yen Li e Jim Yorke.

Qui trovate le prime 94 cifre decimali di k.

 

Feigenbaum studiando la ricorrenza, armato solo di una piccola calcolatrice programmabile, scoprì nel 1975 che Sequenza che converge alla costante di Feigenbaum tende a un limite finito, da allora chiamato “prima costante di Feigenbaum”.

Il valore è circa 4.6692016091; fu calcolato da Briggs nel 1991 con 84 cifre di precisione, poi nel 1997 lo stesso Briggs aumentò le cifre a 576 (delle quali solo 344 erano corrette) e Broadhurst nel 1999 portò il record a 1018.

Qui trovate le prime 1000 cifre decimali della prima costante di Feigenbaum.

 

Alle voci espansione di Lehmer, frazioni continue e frazioni continue centrate si trovano ottime approssimazioni della prima costante di Feigenbaum.

 

Successive ricerche lo portarono a scoprire che tale limite vale per un’ampia gamma di ricorrenze che presentano analoghi fenomeni di biforcazione, come an + 1 = ksin(πan).

Il limite vale quando, definendo an + 1 = f(an), in tutto l’intervallo chiuso da 0 alla costante esiste il valore Formula per la definizione della derivata di Schwarzian (detto “derivata di Schwarzian”) ed è negativo

Una prova rigorosa arrivò solo nel 1982 a opera di O.E. Lanford. La dimostrazione di Lanford è anche storicamente importante, perché fu la prima dimostrazione matematica che utilizzò massicciamente il calcolatore.

 

Chiamando dn la differenza tra i due punti di oscillazione più vicini a Un mezzo (l’uno superiore e l’altro inferiore) si può dimostrare che esiste Formula per la definizione della seconda costante di Feigenbaum e che vale circa 2.502907875, valore che alcuni Autori chiamano “numero di Feigenbaum” o “seconda costante di Feigenbaum”.

Questo valore fu calcolato da Briggs nel 1991 con 107 cifre di precisione, poi nel 1997 lo stesso Briggs aumentò le cifre a 576 (delle quali solo 346 erano corrette) e Broadhurst nel 1999 portò il record a 1018.

Qui trovate le prime 1000 cifre decimali della seconda costante di Feigenbaum.

 

Le due costanti sono anche chiamate costanti di Feigenbaum – Coullet – Tresser.

Bibliografia

  • Odifreddi, Piergiorgio;  "La mappa logistica" in Le Scienze, n. 447, Novembre 2005, pag. 129.

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