Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

E’ la funzione “minimo comune multiplo”, definita come il minimo intero divisibile per due (o più) interi maggiori di zero.

 

Se gli interi an hanno scomposizione in fattori primi Scomposizione in fattori primi di a(n), allora Formula per il calcolo del minimo comune multiplo, ovvero il minimo comune multiplo è il prodotto dei fattori primi, presi col massimo esponente che hanno tra le varie scomposizioni.

 

La funzione può essere estesa agli interi negativi, prendendone il valore assoluto: mcm(m, n) = mcm(|m|, |n|).

 

La funzione è commutativa, distributiva e associativa, ovvero:

mcm(a, b) = mcm(b, a);

mcm(na, nb) = nmcm(a, b);

mcm(a, b, c) = mcm(a, mcm(b, c)) = mcm(mcm(a, b), c).

 

Alcune proprietà:

mcm(0, n) = mcm(n, 0) = 0;

mcm(1, n) = mcm(n, 1) = n;

mcm(n, n) = n;

mcm(an, bn) = mcm(a, b)n;

mcm(m, n)MCD(m, n) = mn;

mcm(m, MCD(m, n)) = m;

MCD(m, mcm(m, n)) = m;

MCD(k, mcm(m, n)) = mcm(MCD(k, m), MCD(k, n));

mcm(k, MCD(m, n)) = MCD(mcm(k, m), mcm(k, n));

mcm(a, b)mcm(c, d) = mcm(mcm(ac, ad), mcm(bc, bd));

mcm(1, 2, …, n) ≥ 2n – 2;

Formula per una proprietà della funzione mcm, dove la somma va calcolata sui valori di m primi rispetto a b.

 

J.B. Rosser e Lowell Schoenfeld dimostrarono nel 1962 che, indicando con f(n) il minimo comune multiplo degli interi da 1 a n:

  • f(n) non supera e1.02n ≈ 2.7731947640n;

  • il massimo di log(f(n)) / n si raggiunge per n = 113;

  • il massimo di (log(f(n)) – log(n#)) / sqrt(n) si raggiunge per n = 361.

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