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La funzione Fx è l’estensione dei numeri di Fibonacci a indici reali, i cui valori coincidono con essi per x intero e preservano la proprietà Fx = Fx – 1 + Fx – 2.

La funzione è definita come Formula per l'estensione della definizione dei numeri di Fibonacci.

La funzione può anche essere espressa come:

  • Formula per il calcolo della funzione F;
  • Formula per il calcolo della funzione F;
  • Formula per il calcolo della funzione F;
  • Formula per il calcolo della funzione F.

 

La figura seguente mostra una parte del grafico della funzione Fx.

 

Grafico della funzione F

 

 

La funzione è positiva per x ≥ 0 e tende a infinito per x tendente a infinito.

E’ sempre crescente per x maggiore di circa 1.6766883726 e ha il flesso con x massimo per x ≈ 3.2314073576; per x maggiore di tale valore la funzione è positiva, crescente e concava.

 

La funzione ha infiniti zeri, tutti con x ≤ 0, corrispondenti alle soluzioni dell’equazione φ2x = cosπx.

 

La tabella seguente mostra i valori approssimati dei 10 massimi zeri della funzione.

–0.1838023597

–1.5707764682

–2.4704268397

–3.5108513847

–4.4957953346

–5.5015970569

–6.4993886828

–7.5002333125

–8.4999108549

–9.5000340464

 

Alla voce frazioni continue si trova un’ottima approssimazione del massimo zero (col segno cambiato).

 

La derivata n-esima è Derivata n-esima della funzione F o equivalentemente Derivata n-esima della funzione F, e in particolare Derivata della funzione F e l’integrale indefinito è Integrale della funzione F.

 

 

In modo analogo una ricorrenza della forma fn = afn – 1 + bfn – 2 può essere estesa a indici reali, preservando la proprietà della definizione, tramite la funzione Formula per l'estensione della definizione delle ricorrenze, per a2 ≠ –4b.

Nel caso dei numeri di Fibonacci gaussiani diviene Formula per l'estensione della definizione dei numeri diFormula per l'estensione della definizione dei numeri di Fibonacci gaussiani.

 

Partendo dalla formula Formula per i numeri di Fibonacci è stata considerata l’estensione analitica dei numeri di Fibonacci al piano complesso, tramite una funzione definita come Funzione per l'estensione dei numeri di Fibonacci al piano complesso, che può anche essere espressa come Formula per il calcolo della funzione f.

La funzione non è periodica e gli unici argomenti reali per i quali assuma valore intero sono gli interi, per i quali vale f(n) = Fn.

Per x reale la parte reale di f(x) coincide con Fx; vale inoltre la relazione f(x) = f(x).

 

La funzione f(z) si annulla solo per Zeri della funzione f, per k intero.

 

Le funzioni f(z) e l(z) (v. funzione Lx) soddisfano numerose identità, analoghe a quelle dei numeri di Fibonacci e Lucas:

  • f(z) = f(z – 1) + f(z – 2);

  • f(z) = 3f(z – 2) – f(z – 4);

  • Identità soddisfatta dalle funzioni f e l;

  • Identità soddisfatta dalle funzioni f e l;

  • f(–z) = –f(z)e–iπz;

  • Identità soddisfatta dalle funzioni f e l;

  • Identità soddisfatta dalla funzione f;

  • f(z + 2) = f(z + 1) + f(z);

  • f(z + w) = f(z)f(w + 1) + f(z – 1)f(w) e in particolare f(2z) = f(z)(f(z + 1) + f(z – 1)) e f(2z + 1) = f(z)f(z + 2) + f(z – 1)f(z + 1);

  • f(2z) = f(z)l(z);

  • f(3z) = f(z + 1)3 + f(z)3f(z – 1)3;

  • f(z)2f(z + 1)f(z – 1) – ez;

  • l(z)2 = 5f(z)2 + 4ez.

 

Tramite espansione in serie di Taylor si ottiene la formula Espansione della funzione f in serie di Taylor, che sostituendo z = n, w = n – 1 e z = n, w = 0, ci fornisce un’altra stupefacente formula: Formula per i numeri di Fibonacci, che equivale alla formula che definisce Fx.

 

La soluzione dell’equazione differenziale y”’ + y”logφ + (π2 – log2φ)y’ = logφ(π2 + log2φ)y è c1Fx + c2Lx + c3φxsin(πx), con c1, c2 e c3 costanti da determinare.

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