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Primi di Mirimanoff

Teoria dei numeri 

Si chiamano “primi di Mirimanoff” i primi di Wieferich generalizzati in base 3; sono quindi i primi p tali che 3p – 1 – 1 sia divisibile per p2. Sono così chiamati in onore di Dmitry Semionovitch Mirimanoff (Pereslavl-Zalessky, Russia, 13/9/1861 – Ginevra, Svizzera, 5/1/1945), che nel 1910 dimostrò che possono esistere soluzioni intere non banali del primo caso dell’ultimo teorema di Fermat, ossia dell’equazione xp + yp = zp con x, y e z non multipli di p ,solo se 3p – 1 – 1 è divisibile per p2.

 

Gli unici noti sono 11 e 1006003 (Kloss, 1965); se ne esistono altri, sono maggiori di 9.7 • 1014 (F.G. Dorais e D. Klyve, 2011).

 

J.H. Silvermann dimostrò nel 1988 che dalla cosiddetta congettura “abc” segue l’esistenza di almeno clogn primi non di Mirimanoff minori di n, per una costante c.

 

Si chiama “ordine” di un primo di Wieferich p generalizzato in base b il massimo valore di w tale che pw + 1 divida bp – 1; gli unici primi di Mirimanoff noti sono di ordine 1.

 

Un primo p è un primo di Mirimanoff di ordine almeno w se e solo se pw + 1 è un overpseudoprimo in base 3 (Vladimir Sheverel, 2008). I quadrati dei primi di Mirimanoff sono quindi overpseudoprimi in base 3.

Bibliografia

  • De Koninck, Jean-Marie;  Those Fascinating Numbers, American Mathematical Society, 2009 -

    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

  • Roberts, Joe;  The Lure of the Integers, The Mathematical Association of America, 1992 -

    Una miniera di informazioni sugli interi.

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