Don't take life too seriously: it's just a temporary situation

Indice

  1. 1. Pagina principale
  2. 2. Somme e differenze di potenze
  3. 3. Sequenze di interi consecutivi multipli di potenze
  4. 4. Potenze come numeri figurati
  5. 5. Rappresentazione di interi come somma di potenze con uguale esponente
  6. 6. Rappresentazione di interi come somma di potenze con diverso esponente
  7. 7. Rappresentazione di interi come differenza di potenze
  8. 8. Potenze uguali a somme di potenze
  9. 9. Proprietà legate alle cifre

Sono state compiute ricerche anche sulla rappresentazione delle potenze in varie basi.

 

Un numero di n cifre può essere una n-esima potenza, come 16 = 42 e 125 = 53; tuttavia gli interi di questo genere sono in numero finito in qualsiasi base. Il massimo in base 2 è 11 = 12 e in base b maggiore di 2 è Massima n-esima potenza di n cifre in base b; in particolare in base 10 è 921 = 109418989131512359209.

 

In qualsiasi base b e per qualsiasi intero n maggiore di 1 e non potenza di b, esistono infinite potenze di n con esponente maggiore di 1, che rappresentate in base b inizino con una sequenza fissata di cifre (per la dimostrazione v. Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, citato nella bibliografia).

 

La tabella riporta gli esponenti delle minime potenze (esclusa la prima) degli interi da 2 a 19 che inizino con le cifre da 1 a 9 in base 10.

Base \ Cifra

1

2

3

4

5

6

7

8

9

2

4

8

5

2

9

6

46

3

53

3

9

3

18

14

10

8

6

4

2

4

2

4

39

6

51

3

23

53

78

5

3

2

5

11

24

4

7

50

10

6

4

3

2

6

87

10

5

41

176

7

5

4

3

2

8

14

20

7

13

8

8

6

5

4

3

2

22

11

21

9

16

12

9

7

5

4

3

2

22

11

2

8

12

15

17

19

21

22

24

12

2

4

7

8

9

10

11

12

25

13

1

3

5

6

15

7

25

8

26

14

2

3

4

11

5

26

6

20

34

15

1

2

3

15

4

16

5

11

17

16

5

2

22

3

28

4

14

29

39

17

5

2

11

3

12

8

69

4

13

18

4

13

2

22

3

7

19

31

39

19

4

5

2

6

17

3

14

7

25

Notate che le cifre maggiori richiedono in media esponenti più alti: è una conseguenza della legge di Benford, secondo la quale in qualsiasi base b maggiore di 2 la probabilità che le prime cifre di una potenza di k formino il numero n, se b e k non sono l’uno potenza dell’altro, è Logaritmo in base b di (n + 1) / n.

Per esempio, la probabilità che le prime cifre di una potenza di 2 in base 5 siano 115 = 6 è Logaritmo in base 5 di 7 / 6. Da notare che la probabilità è indipendente da k (per la dimostrazione v. Challenging Mathematical Problems with Elementary Solutions, citato nella bibliografia).

 

Vi sono solo tre interi tali che due loro potenze con esponente maggiore di 1 contengano insieme tutte le 10 cifre esattamente una volta: 2, 18 e 69 (B.S. Rangaswamy, 2005, http://www.shyamsundergupta.com/canyoufind.htm). Infatti:

  • 22 = 4 e 229 = 536870912;

  • 183 = 5832 e 184 = 104976;

  • 692 = 4761 e 693 = 328509.

Vi sono solo due interi tali che due loro potenze con esponente maggiore di 1 contengano insieme tutte le 10 cifre esattamente due volte: 1638 e 6534 (Brian Trial, 2005, http://www.shyamsundergupta.com/canyoufind.htm). Infatti:

  • 16382 = 2683044 e 16384 = 7198725105936;

  • 65342 = 42693156 e 65343 = 278957081304.

 

Per qualsiasi base b ed esponente k, i numeri n tali che la somma delle cifre della loro potenza k-esima sia uguale a n sono in numero finito.

Infatti un numero n ha in base b al massimo logbn + 1 cifre e la sua potenza k-esima ne ha al massimo k(logbn + 1), pertanto la somma delle cifre è al massimo k(b – 1)(logbn + 1). La differenza tra n e questo valore tende a infinito, quindi per n abbastanza grande la somma delle cifre della potenza sarà sempre inferiore a n.

In qualsiasi base b la somma delle cifre di (b – 1)2 è b – 1.

Le tabelle seguenti mostrano i numeri uguali alla somma delle cifre della potenza k-esima, in base da 2 a 20 per k fino a 20, escludendo i casi banali 0 e 1.

k \ b

2

3

4

5

2

2, 4, 5

3

4, 8

3

4, 8

2, 6, 7, 9, 10

3, 8, 9, 12, 13

4

3, 5

4

3, 7, 9, 13

4, 9, 12, 13, 16

5

6, 7, 9

10

2, 10

11, 16, 23, 24

6

6

10

29

7

6, 14, 17, 22

2, 6, 25, 17, 31

27, 29, 31, 32, 33, 36

8

6, 14, 17

12, 15, 20, 23, 25

22

29

9

12, 25, 31, 34, 38

2, 12, 22, 26, 29, 30, 31, 39

20, 48, 51, 57

10

13, 15, 23

24

33, 37

40, 49, 72

11

25

-

2, 28, 34, 47, 59

15, 20, 35

12

27

38, 43

-

29, 57, 76

13

29, 37

21, 30, 46, 53

2, 20, 36, 44, 57

64, 89

14

47

30, 33, 49, 53, 56

36

45, 73, 77, 84, 93

15

20

39, 42, 49, 58

2, 28, 44, 54, 63, 73

40, 69

16

20

48, 56, 62, 64

42, 46, 63, 67

-

17

20, 39

-

2, 62, 77, 97

104, 112, 124

18

51, 57

76, 80

28, 85, 97, 105

88, 97, 104

19

36, 57

60, 73, 76

2, 74, 87, 95

96, 112, 124

20

63

89

24, 82, 85, 106

108, 112

k \ b

6

7

8

9

2

5, 10

3, 4, 6, 9, 12

7

8

3

9, 11, 15, 16

2, 4, 8, 9, 11, 12, 15, 16

6, 13, 14

3, 7, 15, 16, 23, 32

4

16, 20, 26

10, 12, 16, 18, 19, 24, 25

2, 4, 15, 25

17, 32

5

19, 21, 22, 25, 28

19, 22, 26, 29, 30, 33

14, 22

3, 21, 25, 33, 35, 47

6

1, 5, 21

24. 25, 27, 31, 40

22, 29, 35

16, 24

7

39, 45, 46

25, 37, 38, 48, 51

2, 4, 12, 20, 28, 29, 34, 36, 37, 42, 45, 49, 53

3, 49, 53, 59, 61, 79

8

41, 45, 46

34

43

17, 48, 49

9

24, 25, 31, 52, 53

30, 45, 58, 60, 80

49, 55, 85

3, 40, 57, 65, 73, 77, 80, 85, 95

10

46, 50

27, 51, 57

2, 4, 63, 67, 78

97

11

24, 64, 69, 79

21, 53, 62, 68, 72, 75, 76, 78, 79

49, 62, 70, 78, 83, 85

3, 69, 85, 87, 89

12

75

21, 69, 75, 78, 90

28, 36, 42, 71, 77, 85

33, 89, 97, 113

13

12, 18, 24, 30, 57, 61, 74, 81, 82, 87, 89

14, 21, 35, 72, 75, 87, 89, 100, 103, 106

2, 4, 24, 58, 78, 85, 111, 113, 115, 121

3, 45, 75, 105, 109

14

100

87, 90, 100, 103, 109

70, 78, 85, 119, 141

96

15

60, 86

109, 110, 113, 130

70, 84, 92, 105, 141

3, 104, 105, 107, 121, 143

16

91, 106

28, 97, 106, 109, 117, 136, 141

2, 4, 56, 86, 91, 95, 102, 106, 109

137, 152

17

91, 107, 113, 119, 123, 125

128, 139, 145

56

3, 45, 93, 105, 128, 136, 145, 152, 175, 179, 197

18

116, 131

63, 121, 124, 144

-

129

19

66, 91, 159

70, 77, 84, 117, 130, 139, 142, 151, 184

2, 4, 98, 116, 119, 130, 132, 134, 155, 157, 181, 187, 191, 201

3, 45, 141, 179

20

-

63, 70, 112, 139, 144, 153, 162

134

169, 184, 217

k \ b

10

11

12

13

2

9

5, 6, 10, 15

11

4, 9, 12, 16, 21

3

8, 17, 18, 26, 27

5, 9, 14, 16, 19, 24

21, 22, 23, 32, 33, 34

3, 7, 8, 9, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 32

4

7, 22, 25, 28, 36

15, 25, 26, 31, 35, 36, 46, 50

23, 33

24, 25, 28, 33, 36, 40

5

28, 35, 36, 46

3, 9, 25, 31, 35, 38, 41, 42, 45, 46, 51, 52, 68

33, 34, 43, 44, 45

31, 33, 36, 37, 41, 43, 51, 56, 57, 63, 64, 72

6

18, 45, 54, 64

40, 41, 46

31, 33, 34, 47, 53

40, 57, 73, 76

7

18, 27, 31, 34, 43, 53, 58, 68

34, 39, 45, 50, 54, 60, 71, 80

54, 55, 67, 77, 87, 89

53, 55, 59, 67, 84, 85, 88, 95

8

46, 54, 63

65, 70, 75, 85

55, 88, 100

57, 76, 81, 85, 93, 97

9

54, 71, 81

56, 64, 73, 82, 84, 87, 89, 90, 91, 96, 103, 104

78, 99, 100

77, 83, 87, 88, 97, 99, 100, 107, 115, 132

10

82, 85, 94, 97, 106, 117

70, 81, 90, 91, 95, 101, 105

89, 99

84, 93, 121, 124

11

98, 107, 108

56, 80, 89, 95, 100, 105, 111, 119, 120

54, 78, 85, 99, 110, 112, 130, 131, 134, 135, 141

93, 100, 109, 120, 123, 124, 127, 133, 139, 144, 145, 152

12

108

106, 111, 120, 140

66, 121, 133

93, 109, 133, 144

13

20, 40, 86, 103, 104, 106, 107, 126, 134, 135, 146

22, 66, 101, 102, 105, 107, 119, 126, 129, 131, 133, 135, 138, 140, 141, 144, 145, 147, 149, 153, 160

122, 131, 133, 155

39, 52, 135, 136, 139, 140, 153, 160, 167, 168, 173, 176, 181, 193, 203

14

91, 118, 127, 135, 154

100, 135, 136, 145, 155, 161

 

52, 160, 189

15

107, 134, 136, 152, 154, 172, 199

131, 150, 155, 201

164, 166, 188

39, 128, 140, 155, 163, 172, 175, 181, 189, 191, 203, 207, 212

16

133, 142, 163, 169, 181, 187

161, 181, 200

176, 185, 190, 199, 202

148, 181, 241, 256

17

80, 143, 171, 216

55, 66, 158, 163, 168, 172, 174, 181, 183, 184, 186, 193, 200, 204, 211, 217

176, 177, 197, 219, 221, 231, 232

200, 201, 212, 217, 223, 231, 233, 241, 243, 245

18

172, 181

55, 205

177, 242

52, 204, 205, 213, 216

19

80, 90, 155, 157, 171, 173, 181, 189, 207

55, 66, 155, 185, 206, 225

187, 208, 241, 275

39, 65, 173, 217, 251, 255, 269, 275, 295

20

90, 181, 207

55, 181, 205, 206, 216

231, 242

204, 241, 264, 301, 336

k \ b

14

15

16

17

2

13

7, 8, 14, 21

6, 10, 15, 21

16

3

25, 26, 27, 38

8, 20, 21, 22, 27, 28, 29, 34, 35, 36

4, 11, 20, 21, 25, 26, 29, 30, 31, 34, 35, 39

7, 23, 32, 33, 55

4

22, 29, 35, 40, 48

2, 4, 8, 11, 16, 18, 22, 28, 32, 36, 39, 42, 43, 46, 50, 51, 53, 56, 57

6, 10, 30, 31

33, 48, 64, 65

5

31, 34, 51, 52, 57, 60, 66

20, 35, 55, 56, 57, 64, 76

2, 4, 8, 20, 24, 28, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 42, 44, 49, 51, 53, 54, 57, 59, 71, 73, 83, 93

23, 43, 49, 55, 57, 61, 64, 67, 75, 81

6

39, 78

71, 85

36, 46, 51, 55, 60, 76

112

7

51, 62, 66, 77, 79, 81, 91

47, 51, 62, 64, 68, 70, 76, 78, 80, 84, 89, 92, 94, 96, 100, 101, 110

4, 44, 55, 59, 61, 65, 66, 70, 74, 75, 76, 81, 85, 86, 91, 94, 101, 105, 106, 111

64, 80, 112, 113

8

78, 91, 92

113

36, 40, 51, 60, 70, 75, 85, 111, 115

49, 112, 113

9

73, 78, 79, 86, 91, 103, 109, 117, 125

69, 77, 83, 85, 99, 126, 132, 146

2, 4, 8, 24, 56, 68, 72, 82, 86, 90, 97, 107, 110, 117, 121, 131, 157, 165, 169

69, 111, 112, 113, 121, 123, 129, 133, 135, 144, 149, 169

10

130

71, 88, 119, 121, 123, 127, 137, 141, 147, 156, 163

40, 60, 105, 106, 130, 141

160, 193

11

117, 130, 131, 142

111, 125, 134, 146, 148, 153, 169

4, 76, 100, 126, 135, 145, 146, 149, 151, 154, 161

143, 159, 175, 185, 208

12

117, 131, 143, 156, 157

126, 141, 147, 168, 183

60, 141, 151

 

13

28, 56, 130, 131, 133, 138, 142, 144, 147, 148, 155, 157, 162, 176, 180, 190, 193, 195

146, 151, 154, 157, 158, 174, 177, 178, 190, 192, 193, 194, 204, 206, 218

2, 4, 8, 116, 118, 133, 134, 137, 138, 143, 145, 146, 147, 148, 157, 162, 163, 166, 169, 170, 177, 182, 203, 205, 221, 223, 271

139, 160, 161, 181, 185, 191, 199, 201, 224, 237

14

169

154, 175, 183

100, 120, 151, 181, 190, 201, 235, 261

176, 177

15

118, 181, 207

146, 161, 175, 190, 209, 223, 230, 239, 251, 258

4, 80, 104, 124, 140, 156, 194, 205, 214, 215, 230, 231, 255, 265

199, 208, 209, 224, 257

16

42, 169, 217

60, 105, 156, 168, 184, 193, 200, 212, 219, 224, 228, 235, 239, 246

120, 156, 265

160, 192, 209, 225, 240

17

70, 207, 221, 233, 234, 235, 247, 260, 261

105, 196, 209, 258, 259, 273

2, 4, 8, 48, 80, 148, 152, 184, 196, 202, 214, 219, 222, 229, 230, 239, 247, 249, 253, 263, 281, 283, 301, 317

51, 219, 240, 241, 249, 265, 273, 277, 283, 287, 288, 301, 313

18

209

105, 190, 238, 252, 266, 308

186, 261, 271, 301, 315, 325

273

19

42, 126, 211, 212, 231, 274, 286

30, 60, 90, 105, 239, 247, 252, 256, 258, 260, 265, 274, 282, 296, 305, 306, 313, 317

4, 184, 220, 269, 274, 275, 285, 291, 299, 306

119, 303, 305, 327, 329, 343, 375

20

209, 274, 286, 300

259, 260, 287, 294, 302, 322

196, 220, 226, 235, 270, 285, 301, 310, 385

321

k \ b

18

19

20

2

17

9, 10, 18

19

3

33, 34, 35

9, 26, 28, 35, 36, 37, 44, 46

37, 38, 39

4

35, 69

13, 27, 31, 37, 40, 43, 45, 49, 55, 58, 79, 81

7, 39, 45, 58, 68

5

50, 52, 55, 64, 67

35, 46, 54, 62, 64, 99

56, 57, 58, 75, 76

6

35, 51, 52, 69, 86

64, 72

96

7

-

45, 52, 58, 65, 79, 85, 86, 89, 97, 98, 99, 103, 106, 107, 108, 109, 116, 119, 121, 124, 127

50, 68, 76, 83, 95, 103, 114, 121, 122, 163

8

-

63, 90, 100, 109, 126, 127

115, 134, 152

9

115, 120, 121, 135, 152, 155, 161

108, 126, 134, 154

76, 96, 113, 132, 134, 152

10

103

124, 139, 142, 148, 160, 199, 208

102, 134, 138, 139, 150, 156, 161, 172, 187, 191, 216

11

118, 188

127, 163, 180, 189, 197

172, 228

12

187, 256

162, 189, 288

152, 172, 191, 209, 229, 266

13

157, 208, 225, 237

175, 178, 181, 194, 197, 198, 205, 212, 214, 218, 220, 224, 233, 234, 242, 243, 244, 245, 263

183, 202, 209, 229, 236, 247, 297

14

120, 204, 239

244, 252, 253, 325

190, 209, 210, 267

15

204, 205, 237, 256

215, 225, 226, 233, 234, 235, 251, 253, 278, 287, 307

284, 286

16

273

76, 220, 225, 229, 238, 241, 253, 259, 261, 268, 270, 271, 274, 277, 295, 297, 307, 315, 319, 322

239, 258, 304, 315

17

36, 54, 72, 126, 174, 186, 232, 240, 250, 256, 257, 264, 279, 298, 308, 315, 359, 377

261, 271, 287, 297, 307, 341, 351

190, 210, 229, 247, 267

18

221, 272, 289

289, 307, 325, 343

324, 342

19

204, 237, 273, 391

76, 260, 272, 275, 277, 288, 296, 302, 305, 306, 310, 328, 332, 334, 337, 338, 340, 343, 344, 349, 387, 388

40, 60, 160, 170, 210, 226, 250, 262, 292, 335, 341, 349, 353, 357, 359, 368, 369, 378, 385, 453

20

357, 374

252, 370, 388

-

Come si vede, esistono esempi per quasi tutti gli esponenti in ogni base, tuttavia per ogni base sembra esserci qualche esponente per il quale nessun numero soddisfa il requisito. La tabella seguente riporta il minimo esponente per il quale questo accada, nelle basi da 2 a 20.

Base

Esponente

2

2

3

6

4

12

5

16

6

20

7

94

8

18

9

24

10

105

11

52

12

14

13

354

14

96

15

437

16

96

17

12

18

7

19

50

20

20

 

La somma delle cifre di 9019 = 13508517176729920890000000000000000000, 9020 = 1215766545905692880100000000000000000000, 9021 = 109418989131512359209000000000000000000000 e 9022 = 9847709021836112328810000000000000000000000 è 90. Non si conosce alcun altro intero che abbia 4 potenze consecutive con la somma delle cifre uguale al numero stesso; se ne esistono altri, sono maggiori di 90 o il minimo esponente è maggiore di 9996 (Jens Kruse Andersen 2002, http://www.shyamsundergupta.com/canyoufind.htm) o la base è maggiore di 8000 e le potenze hanno più di 2000 cifre (Brian Trial, 2002, http://www.shyamsundergupta.com/canyoufind.htm).

L’unico altro caso noto in cui 3 potenze con esponente consecutivo abbiano somma delle cifre uguale alla base è 181: la somma delle cifre di 18118, 18119 e 18120 è 181 (Brian Trial, 2002, http://www.shyamsundergupta.com/canyoufind.htm).

 

La somma delle cifre di 25 = 32 è uguale all’esponente; l’unico altro caso noto è 270 = 1180591620717411303424, con somma delle cifre uguale a 70 (Shyam Sunder Gupta, 2003, http://www.shyamsundergupta.com/canyoufind.htm). Da questi si possono ottenere infiniti altri esempi, moltiplicando la base per potenze di 10.

Se esistono altri casi del genere la base o l’esponente sono maggiori di 1000 (M. Fiorentini, 2021).

 

Su Mathematical Diamonds (v. la bibliografia) si trova una semplice dimostrazione del fatto che in un intero di almeno 16 cifre si trova una sequenza di cifre (eventualmente ridotta a una sola cifra), il prodotto delle quali è un quadrato.

La dimostrazione si può generalizzare a una qualsiasi base b e a una qualsiasi potenza n: in un intero di almeno kn cifre in base b, dove kn è il numero di primi inferiori a b, si trova una sequenza di cifre, il prodotto delle quali sia una potenza n-esima. Quindi in base 10 in un numero di almeno 64 cifre si trova una sequenza di cifre il cui prodotto è un cubo, in uno di 256 una sequenza di cifre il cui prodotto è un biquadrato e così via.

Version:1.0 StartHTML:0000000148 EndHTML:0000003805 StartFragment:0000003087 EndFragment:0000003765 SourceURL:file:///F:\Mauro\Numeri\P_2.doc

La somma delle cifre di 25 = 32 è uguale all’esponente; l’unico altro caso noto è 270 = 1180591620717411303424, con somma delle cifre uguale a 70 (Shyam Sunder Gupta, 2003, http://www.shyamsundergupta.com/canyoufind.htm). Da questi si possono ottenere infiniti altri esempi, moltiplicando la base per potenze di 10.

Se esistono altri casi del genere la base o l’esponente sono maggiori di 1000 (M. Fiorentini, 2021).

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    Un'inesauribile miniera di notizie sugli interi, informazioni e spunti per approfondimenti.

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  • Klamkin, Murray S.;  USA Mathematical Olympiads 1972 – 1986, Washington, The Mathematical Association of America, 1988 -

    Raccolta di problemi stimolanti, alla portata di studenti delle medie superiori.

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