Stella octangula (numeri)

Numeri figurati 

Se aggiungiamo un tetraedro regolare a ciascuna faccia di un ottaedro regolare, otteniamo un solido a 8 punte, al quale Keplero diede il nome di “stella octangula”.

Se la costruzione viene fatta con palline (e nel campo gravitazionale terrestre è impossibile tenerla insieme senza magneti o adesivi), il numero di palline necessarie è un numero figurato, detto “numero stella octangula”, risultante dalla somma di un numero ottaedrico e 8 tetraedrici, dell’ordine immediatamente inferiore, come mostra la figura.

 

 

 

I numeri stella octangula sono quindi numeri figurati.

 

I numeri stella octangula sono dati dalla formula S_n = 2n³ – n; possono essere calcolati anche con le ricorrenze: S_n = S_{n – 1} + 6n² + 6n + 1 e S_n = 3S_{n – 1} – 6S_{n – 2} + 4S_{n – 3} – S_{n – 4}.

 

Alcune formule che legano i numeri stella octangula ad altri numeri figurati:

• S_n = O_n + 8T_{n – 1}, dove O_n è un numero ottaedrico e T_n è un numero tetraedrico;

• S_n – S_{n – 1} = S’_n, dove S’_n è l’n-esimo numero stellare.

 

Ogni numero stella octangula può essere espresso come somma di 12 numeri tetraedrici: S_n = T_n + 10T_{n – 1} + T_{n – 2}.

 

Per le somme dei numeri stella octangula e dei loro reciproci valgono le formule:

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.

 

La funzione generatrice è  e la funzione generatrice esponenziale è .

 

La tabella seguente mostra i numeri stella octangula fino a S₂₀.

n	Sn
1	1
2	14
3	51
4	124
5	245
6	426
7	679
8	1016
9	1449
10	1990
11	2651
12	3444
13	4381
14	5474
15	6735
16	8176
17	9809
18	11646
19	13699
20	15980

 

I numeri che sono contemporaneamente quadrati e stella octangula si ricavano dalle soluzioni dell’equazione y² = 2x³ – x; notando che x e 2x² – 1 sono primi tra loro e quindi devono essere entrambi quadrati; con opportune sostituzioni di variabili si arriva all’equazione di Ljunggren a² = 2b⁴ – 1. Wilhelm Ljunggren (1905 – 1973) dimostrò nel 1942 che le uniche soluzioni sono (±1, ±1) e (±239, ±13), corrispondenti ai numeri S₁ = 1 = 1² e S₁₆₉ = 9653449 = 3107².

 

Non si conoscono numeri stella octangula maggiori di 1 che siano cubi o potenze superiori.

 

Per numeri stella octangula appartenenti anche ad altre categorie di numeri figurati v. numeri figurati.

 

Nessun numero stella octangula è primo.

 

Probabilmente ogni intero positivo si può esprimere come somma di 15 numeri stella octangula; ogni intero positivo abbastanza grande si può esprimere come somma di 8 numeri stella octangula, ma probabilmente ne bastano 5.

Sembrano esserci 10420 interi non rappresentabili come somma di 6 numeri stella octangula, il massimo dei quali è 500368; se ve ne sono altri, sono superiori a 10⁹ (M. Fiorentini, 2013).

Tra questi solo 41 richiede 15 addendi, solo 27, 40 e 92 ne richiedono 14, solo 13, 26, 39, 78 e 91 ne richiedono 13.

Qui trovate gli interi minori di 10⁹ che richiedono più di 5 addendi, ciascuno seguito dal numero di addendi necessari.

 

Gli interi positivi che non possono essere rappresentati come somma di numeri stella octangula differenti sono in tutto 5768, da 2 a 19226.

Tabelle numeriche

I numeri stella octangula fino a S₁₀₀₀.

Vedi anche

Numeri figurati.

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