Nel 1980 Paul Erdös e Ronald L. Graham proposero due congetture riguardanti somme infinite di frazioni egizie.
La prima afferma che se i numeri naturali sono suddivisi in r sottoinsiemi disgiunti, allora almeno uno di essi contiene un sottoinsieme S tale che 
. In altre parole, uno dei sottoinsiemi deve contenere interi, la somma dei reciproci dei quali è 1.
La congettura prevede anche che l’insieme possa essere limitato a interi non maggiori di br, per una costante b e r abbastanza grande.
Questa congettura fu dimostrata vera da Ernest S. Croot nel 2003.
Resta da determinare il valore di b: è noto che deve essere almeno uguale a e ≈ 2.7182818285 e Croot dimostrò che è al massimo e167000.
La seconda congettura afferma che data una sequenza di interi an, se vale 
e la somma dei reciproci converge a un numero razionale, allora da un certo punto in poi per la sequenza deve valere la ricorrenza 
, che definisce i numeri di Sylvester.
Nel 1993 Catalin Basea dimostrò che l’affermazione à vera se 
, condizione più forte di quella richiesta da Erdös e Graham.