La serie armonica, ossia la somma dei reciproci dei numeri naturali, è divergente; tuttavia se rimuoviamo dalla somma tutti i reciproci degli interi che hanno una cifra fissata d nella loro rappresentazione decimale, otteniamo una serie convergente, detta “serie di Kempner”, perché Aubrey J. Kempner dimostrò che la somma dei reciproci dei numeri privi della cifra 9 è minore di 80.
La serie dei reciproci dei numeri privi della cifra d converge al numero di Kempner Kd. Per esempio, 
.
La tabella seguente mostra i valori calcolati da Baille nel 1979.
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d |
Kd |
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0 |
23.10344 |
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1 |
16.17696 |
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2 |
19.25735 |
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3 |
20.56987 |
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4 |
21.32746 |
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5 |
21.83460 |
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6 |
22.20559 |
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7 |
22.49347 |
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8 |
22.72636 |
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9 |
22.92067 |
Analogamente è convergente la somma dei reciproci dei numeri che non contengono una qualsiasi sequenza fissata di cifre. Nel 2008 Thomas Schmelzer e Robert Baillie calcolarono, per esempio, che la somma dei reciproci degli interi che non contengono la sequenza delle prime 6 cifre decimali di π, ossia 314159, vale poco più di 2300000.
Nel 1916 Irwin dimostrò che anche la somma dei reciproci dei numeri che contengono un numero limitato di occorrenze di una cifra fissata è convergente.
Per esempio, la somma dei reciproci dei numeri che contengono non più di sette occorrenze della cifra 3 nella loro rappresentazione decimale è finita.
Vedi anche
Numeri armonici (I).Bibliografia
- Bellos, Axel; Il meraviglioso mondo dei numeri, Torino, Einaudi, 2011 -
Trad. di Alex’s Adventures in Numberland. Dispatches from the Wonderful World of Mathematics, 2010.