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Interi algebrici

Algebra 

Gli interi algebrici sono un caso particolare di numeri algebrici, per i quali il coefficiente del termine di grado massimo dell’equazione che li ha come soluzione è uno, cioè sono soluzioni di equazioni della forma xn + an – 1xn – 1 + ... a1x + a0 = 0, dove i vari an sono tutti interi, anche negativi.

Viceversa se un polinomio con coefficienti interi è irriducibile (ossia tale che non può essere espresso come prodotto di polinomi con coefficienti interi) ha il coefficiente di grado massimo maggiore di uno e il massimo comun divisore dei coefficienti è uno, nessuna delle sue radici è un intero algebrico.

 

Si dicono “coniugati” di un intero algebrico le altre soluzioni dell’equazione di grado minimo; tanto gli interi algebrici che i loro coniugati possono essere reali o complessi.

 

Si dice “grado” di un intero algebrico il minimo possibile grado di un’equazione che lo abbia per soluzione.

Per esempio, sono interi algebrici di secondo grado tutti i numeri della forma Forma generale degli interi algebrici di secondo grado, perché soluzione dell’equazione x2nx + m = 0 e in particolare:

  • φ;

  • gli interi di Gauss, perché a + ib è soluzione dell’equazione x2 – 2ax + a2 + b2 = 0;

  • gli interi di Eisenstein, perché a + ωb è soluzione dell’equazione x2 – (2ab)x + a2ab + b2 = 0.

 

Viceversa non sono interi algebrici i numeri razionali che non sono interi; per esempio, 2 / 3 non è un intero algebrico, perché radice dell’equazione 3x – 2 = 0, che ha il coefficiente del termine di grado massimo diverso da 1, o dell’equazione x – 2 / 3 = 0, che non ha tutti i coefficienti interi, mentre si dimostra facilmente che non è radice di alcuna equazione a coefficienti interi che abbia il coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1.

 

Somme, differenze, prodotti e radici n-esime di interi algebrici sono ancora interi algebrici, ma non, in generale, i loro quozienti; gli interi algebrici costituiscono quindi un anello.

 

Sono interi algebrici anche le soluzioni di equazioni con coefficienti che siano numeri algebrici, sempre coll coefficiente del termine di grado massimo uguale a 1.

 

Tutte le potenze di un intero algebrico possono essere espresse come combinazioni lineari con coefficienti interi delle potenze con esponente fino al suo grado meno uno. Per esempio, φ100 può essere espresso come aφ + b, con a e b interi.

 

Come per i numeri algebrici, non è detto che un intero algebrico di grado superiore al quarto possa essere espresso come combinazioni di somme, prodotti e radici n-esime di numeri razionali, cioè che sia un intero radicale.

 

Tra gli interi algebrici corrispondenti a un’equazione fissata esistono i numeri primi, o meglio, “irriducibili”, ossia gli interi algebrici che non possono essere scomposti come prodotto di interi algebrici diversi dall’unità e dai suoi coniugati.

La scomposizione di interi algebrici in interi irriducibili non è però in generale unica; per esempio, 6 ha due scomposizioni in irriducibili della forma a + b * sqrt(–5)6 = 2 * 3 = (1 + sqrt(–5)) * (1 – sqrt(–5)) (v. numeri di Heegner).

Non è neppure detto che le varie scomposizioni possibili abbiano lo stesso numero di fattori; per esempio, considerando gli interi algebrici della forma a + b * sqrt(–17), 18 ha due composizioni con diverso numero di fattori: 18 = 2 * 3^2 = (1 + sqrt(–17)) * (1 – sqrt(–17)).

La non unicità della scomposizione non fu ben compresa fin verso la fine del XIX secolo, in particolare nel caso degli interi ciclotomici (I), causando confusione ed errori (v. ultimo teorema di Fermat).

Bibliografia

  • Stewart, Ian;  Tall, David;  Algebraic Number Theory and Fermat’s Last Theorem, CRC Press, IV ediz., 2016.

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